Задача про зайца и черепаху

Задача про зайца и черепаху


Всем известно, что такое софизмы. Это утверждения, которые при всей своей абсурдности имеют неопровержимые, на первый взгляд, доказательства, которые при более детальном рассмотрении обнаруживают в себе ошибку. Любопытно, что даже сейчас не все могут обнаружить подобную ошибку в рассуждениях софистов. Впрочем, софизмами обычно называют рассуждения, специально созданные для того, чтобы ввести людей в заблуждение. Бывало и так, что сам философ не мог понять, где в его рассуждениях ошибка. Подобные высказывания называются апориями. Разгадывать софизмы и апории — одно из увлекательных занятий для пытливого ума, нечто вроде попытки разгадать секрет фокуса иллюзиониста, не говоря уже о том, что подобная тренировка ума, делает человека более бдительным и менее подверженным обману, потому что за поверхностной красивостью и убедительностью слов ему становится легче разгадать ошибку.

Попробуем разгадать одну из самых известных апорий Зенона — парадокс Ахиллеса и черепахи. Итак, вот рассуждения Зенона:

Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.

Есть один небольшой момент, о которым Зенон не знал, а древнегреческие математики, такие как Архимед, только догадывались. А конкретно, они не знали, что делать с бесконечностью. Древние греки вообще её побаивались и старались избегать, а более-менее окончательно с ней разобрались только к восемнадцатому веку, когда был создан математический анализ. Поэтому нет ничего удивительного в том, что когда речь заходила о бесконечности, древние философы начинали пасовать перед ней: у них просто не было достаточно глубоких знаний в математике, чтобы разрешить кажущиеся противоречия.

Попробуем разобраться, в чём же тут дело с высоты сегодняшних знаний.

Во-первых, сразу бросается в глаза тот факт, что на каждом этапе время, затрачиваемое Ахиллесом, чтобы пробежать разделяющее его и черепаху расстояние, резко уменьшается. Через несколько этапов оно становится совсем крохотным, практически незаметным, точно также практически незаметным становится расстояние, разделяющее Архимеда и черепаху. Если в начале оно было равно тысяче шагов, то уже через 5 этапов оно будет равно всего одной сотой шага. Есть один тонкий момент, который может быть трудно преодолеть человеку, который до этого мало задумывался о бесконечности: когда мы складываем бесконечное количество таких вот быстро уменьшающихся кусочков, то результат может быть конечным. Покажем это на примере. Возьмём кусок масла и будем отрезать от него кусочки. Допустим, мы сначала отрежем половину, потом половину от оставшейся половины и т.д. Ясно, что кусок масла не является бесконечно делимым. Очень скоро, мы дойдём до размеров молекул и дальше уже делить не сможем, но что нам стоит представить себе, что никаких молекул нет и мы можем делить масло бесконечно? Что мы тогда получим? Мы сможешь бесконечно отрезать половину от кусочка масла и получим таким образом бесконечное количество кусочков, но общее количество отрезанного масла никогда не будет больше количества того масла, что было у нас изначально. Другой пример: нарисуем две параллельные линии на бумаге, теперь между ними нарисуем ещё одну линию, между второй и третьей — ещё одну и т.д. Если бы у нас была бесконечно тонкая ручка, мы могли бы продолжать этот процесс бесконечно, получая бесконечное количество промежутков между линиями, но суммарное расстояние между этими линиями не будет превышать расстояния между первыми двумя прямыми, которые мы нарисовали…

Читайте также:  Что такое зачекиниться в кафе

Мы видим, что даже бесконечное количество слагаемых в сумме может давать вполне конечную величину. Не получится ли также с Ахиллесом и черепахой? Интуиция и здравый смысл нам подсказывают, что именно так и получится. Предположим, что первые тысячу шагов Ахиллес пробежит за 10 минут, следующие 100 — за минуту, следующие — за 6 секунд и т.д. Если проссумировать эти промежутки времени, получится 10+1+0,1+0,01+. =11,111111. =11 и одна девятая минуты, точно так же, если проссумировать общее расстояние, которое пробежит Ахиллес, получится 1000+100+10+1+0,1=1111,111111… = 1111 и одна девятая шага. Это именно то время и то расстояние, которое потребуется преодолеть Ахиллесу, чтобы догнать черепаху.

В чём же ошибка Зенона? Зенон не видел разницы между бесконечном количеством этапов, на которые он предложил делить время, за которое Ахиллес догонит черепаху, и бесконечным временем. Для того, чтобы чётко осознать эту разницу, ему бы пришлось знать математику на уровне середины восемнадцатого века. Очевидно, что деление времени на подобные этапы совершенно искусственно и именно эта искусственность создаёт иллюзию парадоксальности. Ахиллес же не будет останавливаться после каждого полушага, чтобы посчитать, какое ему ещё потребуется время, чтобы преодолеть оставшееся расстояние между ним и черепахой. С точки зрения Ахиллеса, он будет приближаться к черепахе с постоянной скоростью, равной разности между скоростью Ахиллеса и черепахи, и нам вовсе необязательно привлекать такие сложные области, как мат. анализ для решения это простейшей задачи уровня третьего класса. Зенон искусственно усложнил эту задачу, а, усложнив, сделал неразрешимой в рамках простейшей арифметики, что дало ему повод объявить несуществование бесконечности и бесконечно делимых вещей. Любопытно, кстати, что, как ни странно, в этом он, как будто, оказался прав. Современная наука, во всяком случае, утверждает, что бесконечно делимых вещей действительно не существует и как расстояние, так и время делятся только до определённого предела так, что существует мельчайшее расстояние и мельчайшее время, меньше которых быть уже не может. Если так, то остаётся удивительным тот факт, что Зенон пришёл к такому выводу, исходя из ошибочных рассуждений, основанных на незнании.

Древнегреческий философ Зенон Элейский знаменит своими парадоксальными рассуждениями. Наиболее известной из апорий Зенона является "Ахиллес и черепаха".
Утверждается, что быстроногий Ахиллес никогда не догонит неторопливую черепаху, если она начинает движение раньше Ахиллеса.

Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.
Но что-то тут как-то все непонятно. Давайте по подробнее:
Сначала определимся с терминами.
Софизм — это ложное утверждение, основанное на неразрешимом противоречии или на сознательной ошибке в доказательстве.
Парадокс — это истинное утверждение, имеющее логическое объяснение, но не очевидное в силу противоречивости формулировки.
С точки зрения математики, "Ахиллес и черепаха" является классическим софизмом.
Надо обратить внимание на тот факт, что время постепенно останавливается. Соответственно, скорости Ахиллеса и черепахи, а также их взаимная скорость будут стремиться к нулю. Объекты становятся неподвижны в любой системе координат. Логично, что если скорость ноль, то никто никого не догонит.
Однако это полностью противоречит утверждению, что Ахиллес и черепаха бегут. Кроме того, при остановившемся времени теряет смысл слово "никогда", так как существует лишь "сейчас".
Это и есть софизм. Объекты не могут одновременно и быть неподвижными, и бежать (иметь взаимную скорость).
Однако с точки зрения философии "Ахиллес и черепаха" — это именно парадокс, поскольку не содержит внутренних противоречий и ошибок.
Это классический парадокс целеполагания.
Быстроногий Ахиллес никогда не догонит неторопливую черепаху, потому что поставил цель её "догонять". Если бы он поставил перед собой цель "догнать" или первым достичь финиша, то легко обошёл бы черепаху.
Именно постановка цели "догонять" не позволяет Ахиллесу ни догнать, ни обогнать черепаху. Даже болид Формулы-1 с "табуном лошадей" под капотом при такой постановке цели не сможет догнать улитку. И физика с математикой здесь бессильны.
Данный парадокс широко используется в жизни:
Не гонись за модой — не догонишь. Мода всегда будет на шаг впереди вне зависимости от твоих ресурсов.
Если стремишься быть похожим на кого-то, то всегда будешь лишь вторым (в лучшем случае).
Если государство ставит своей целью догнать другое государство в какой-то сфере, то можно с уверенностью сказать, что никогда не догонит. Даже шанса нет, только ресурсы зазря потратит.
Нужно правильно ставить цель и идти к ней.
Таким образом, зная, какую цель ставит перед собой человек, можно сделать вывод о том, каких результатов он добьется.
Зенон создал блестящий философский парадокс, который встречается в реальной жизни на каждом шагу, каждый раз, когда кто-то ставит перед собой цель. И будет актуален пока существует человечество.

Читайте также:  Литература по асу тп

Не будем тратить времени и тормозить Ахилла готового настичь коварную черепаху.
Дано: Скорость черепахи — Vч, скорость Ахилла — Vа, Расстояние между ними — L.
Найти: время сближения — T, при условии, что оно равно сумме времён прохождения половин остающегося между ними расстояния.

T = (1/2)*L/(Va-Vч) + (1/2)^2*L/(Va-Vч)+….+ (1/2)^n*L/(Va-Vч) при n стремящемся к бесконечности, где ^n означает возведение в степень n.

Упростим выражение
Т = (L/( Va-Vч))*(СУММА от 1 до бесконечности ряда (1/2)^n)

Для нахождения суммы ряда можно воспользоваться одним из математических сайтов (концентрирующих достижения современной математики), например,math24.biz/sum.
Вот уж где каждый может принять участие в математическом изобличении Зенона.

Здесь (см. рисунок) формулу ряда надо записать как (1/2)^n и установить начальное
значение n=1. Верхний предел суммы устанавливается равным этому пугающему значению «+ бесконечность». Как на рисунке.
Останется нажать на кнопочку (Решение или Enter), 2-3 секунды и ответ на древний как мир вопрос Зенона готов. Сумма этого ряда строго равна 1.

Тогда время сближения
Т = L/( Va-Vч).

Оно конечно и предсказуемо.С точки зрения математики парадокс заключался в том, что Зенон обычную единицу представил в неразрешимом для своего времени виде.

Конечно великий мудрец Зенон может сказать: Вы думали тысячу лет над одним вариантом задачи, а если бы Ахилл приближался каждый раз на 2/3 расстояния или любое другое число меньшее единицы?
Ответ на этот вопрос также уже готов, ведь математика не решает частные задачи, она всегда стремится найти общее решение для множества подобных задач. В данном случае мы имеем дело с бесконечно убывающими геометрическими прогрессиями для которых достаточно задать первый элемент и знаменатель геометрической прогрессии (меньший единицы по модулю).
Обозначим часть пути, которую каждый раз отмеряет от остатка Ахилл как k/m, где k и m любые положительные целые числа, и k < m. Общее решение будет иметь вид:

Читайте также:  Мимо проезжала кавалькада машин

Т = (L/( Va-Vч))*(k/m)*(СУММА от 1 до бесконечности ряда ((m-k)/m)^(n-1) )
Собственно, сама бесконечно убывающая геометрическая прогрессия такова:

СУММА от 1 до бесконечности ряда ((m-k)/m)^(n-1)

Общее решение для нахождения суммы(S)бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
S = b1/(1-q)
где b1 — первый член прогрессии, а q – знаменатель прогрессии.
b1 находим при n=1.
b1 = ((m-k)/m)^0 = 1

q в нашем случае равно(m-k)/m
тогда:
S = 1/(1 – ((m-k)/m)) = m/k
Т = (L/( Va-Vч))*(k/m)*(m/k) = L/( Va-Vч)

В результате мы получили всё то же известное (неоднократно истоптанное) решение для равномерного прямолинейного движения. Результат определяется только скоростью сближения Ахилла и черепахи, и никак не зависит от хитроумных рассуждений наблюдающего за ними Зенона.
Парадокс Зенона решён. Ахилл неизбежно догоняет коварную черепаху. Собственно, и черепаха уже никакая не коварная. Это обычное, в чем-то даже симпатичное существо.
Но, повержен ли Зенон? Давайте вспомним, что собственно хотел доказать Зенон своим парадоксом:
То, что Ахилл никогда не догонит черепаху?
Или то, что отрезок не может состоять из бесконечно малых частей?

Зенон придумал свой парадокс пытался показать абсурдность деления отрезка на бесконечно малые части. Зенон пытался доказать от обратного, что любой отрезок состоит из конечного числа частей и что бесконечно малого не существует.Что делать, бесконечности никогда не нравились мудрецам.
Зенон ещё получит слово в работе "К последней истине. Часть 2", в которой обозначена модель вселенной, не имеющая ни бесконечно малого, ни бесконечно большого.

P.S.
Здесь в один парадокс объёдинены две апории Зенона: «Дихотомия» и «Ахиллес и черепаха». Параметров всего три:
скорость Ахилла,
скорость черепахи,
отношение в котором делится отрезок k/m.
Для «дихотомии»: скорость Ахилла = V, скорость черепахи = 0, k/m = 1/2;.
Для «Ахиллес и черепаха»: скорость Ахилла = 10V, скорость черепахи = V, k/m = 9/10. Вводное слово апории "допустим" подразумевает также любое другое отношение деления отрезка.

Общее в апории и парадоксе то, что логически верные рассуждения приводят к логическому противоречию. Парадоксы, несомненно, указывают на ошибку в исходных положениях или в цепочке логических рассуждений.

Ссылка на основную публикацию
Женщина фокусник с платком
Ursula Martinez (Урсула Мартинес)- лондонская англо-испанская писательница и артист, автор множества весьма и весьма провокационных работ некоторые из которых уже...
Долгий тап что это
Подавляющее большинство современных мобильных устройств имеют сенсорный экран, с помощью которого можно управлять гаджетом. Т.е. вместо нажимания на механические кнопки...
Допустимы только символы кириллицы
Вы не знаете кириллица это какие буквы? На обычной русской клавиатуре представлено два вида букв: кириллица и латиница. Только вот...
Задача конец уроков python
В некоторой школе занятия начинаются в 9:00. Продолжительность урока — 45 минут, после 1-го, 3-го, 5-го и т.д. уроков перемена...
Adblock detector