Умножение матрицы на вектор строку

Умножение матрицы на вектор строку

Primary tabs

Forums:

Рассмотрим здесь примеры умножения матрицы на матрицу (вектор).
Во-первых:

Первую матрицу можно умножить на вторую только в случае, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы!

Правило для получения элемента матрицы, являющейся результатом произведения матрицы A на матрицу B:

Чтобы получить очередной элемент с координатами (M — номер строки, N-номер столбца) матрицы-результата — необходимо сложить результаты произведений элементов M-ой строки первой матрицы на элементы N-ого столбца второй матрицы

Чтобы было понятнее смотрите примеры ниже.

Умножением матрицы на вектор — пример

Начнём с того, что вектор — это тоже матрица, просто из одного столбца.
Умножим матрицу на вектор — запишем вектор слева от матрицы и применим правило указанное выше:

$Large egin2 & -3\
4 & 7
end
egin2\
3
end
= egin2*2 + (-3)*3 \
4*2 + 7*3
end
= egin-5 \
29
end
$
Итак в результате умноежния матрицы на вектор мы получили вектор (ветор — тоже матрица):
$ egin
-5 \
29
end
$

Умножением матрицы на матрицу — примеры

Теперь рассмотри умножение матрицы на матрицу — помним, что число столбцов первой матрицы должно быть равно числу строк во второй матрице (иначе умножение невозможно).
Для начала пример 2 на 2 (2х2):
$Large egin2 & -3\
4 & 7
end
egin-5 & 2\
-1 & 4
end
=$
$Large = egin
[2*(-5) + (-3)*(-1)] & [2*2 + (-3)*4] \
[4*(-5) + 7*(-1)] & [4*2 + 7*4]
end
=$
$Large= egin
-7 & -8\
-27 & 36
end
$

Аналогично выполняется уможение матриц 3х3 (размерностью 3 на 3 и других — больших размерностей):

$egin1 & 2 & 3\
4 & 5 & 6\
7 & 8 & 9
end
egin3 & -4 & 5\
1 & -1 & 1\
2 & -2 & 3
end
=$
$ = egin
(1*3 + 2*1 + 3*2) & 1*(-4) + 2*(-1) + 3*(-2) & 1*5 + 2*1 + 3*3 \
(4*3 + 5*1 + 6*2) & 4*(-4) + 5*(-1) + 6*(-2) & 4*5 + 5*1 + 6*3 \
(7*3 + 8*1 + 9*2) & 7*(-4) + 8*(-1) + 9*(-2) & 7*5 + 8*1 + 9*3 \
end
=$
$ = egin
11 & -12 & 16\
29 & -33 & 43\
47 & -54 & 70
end
$

Key Words for FKN + antitotal forum (CS VSU):

  • Log in to post comments
  • 20374 reads

Wed, 04/08/2015 — 10:28

$Large 2*2 + (-3)*3
eq -3$

$Large 2*2 + (-3)*3
eq -3$

  • Log in to post comments

Wed, 04/08/2015 — 12:13

$2*2 + (-3)*3 = -5$

$2*2 + (-3)*3 = -5$
Спасибо! даже помню как я считал это действие — помню что считал как 6 — 9 )))
остальное вроде правильно, да?)

Читайте также:  Как восстановить микро флешку если она повреждена

_____________
матфак вгу и остальная классика =)

  • Log in to post comments

Wed, 04/08/2015 — 21:23

  • Log in to post comments

Sat, 06/20/2015 — 17:14

если число столбцов первой

если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы

эта формулировка правильна.
Просто внимательно изучите примеры выше. Для получения очередного элемента матрицы результата, мы "умножаем" (составляем сумму произведений) строку первой матрицы на столбец второй, НО (!) строка первой матрицы по длине — это число столбцов первой матрицы, а длина столбца второй — это число строк второй.
Потому важно именно чтобы совпадало число столбцов в первой и число строк по второй.

Если бы было иначе — число строк должно было бы совпадать с числом столбцов — и правило умножения было бы совсем другим — . — тогда бы вам пришлось умножить матрицы:
$Large
egin2\
3
end
egin2 & -3\
4 & 7
end
$
Используя алгоритм, приведённый выше — вам бы было не на что умножать 4-ку из первого столбца второй матрицы.
И эти два условия (число строк = числу столбцов и число столбцов= числу строк) не эквивалентны в общем случае- эквивалентны они только для квадратных матриц)

_____________
матфак вгу и остальная классика =)

Произведение двух матриц

Произведение матриц (С= АВ) — операция только для согласованных матриц А и В, у которых число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В:

C ⏟ m × n = A ⏟ m × p × B ⏟ p × n

  • A = a ( i j ) размеров m × n ;
  • B = b ( i j ) размеров p × n

Матрицу C , элементы c i j которой вычисляются по следующей формуле:

c i j = a i 1 × b 1 j + a i 2 × b 2 j + . . . + a i p × b p j , i = 1 , . . . m , j = 1 , . . . m

Вычислим произведения АВ=ВА:

А = 1 2 1 0 1 2 , В = 1 0 0 1 1 1

Решение, используя правило умножения матриц:

А ⏟ 2 × 3 × В ⏟ 3 × 2 = 1 2 1 0 1 2 × 1 0 0 1 1 1 = 1 × 1 + 2 × 0 + 1 × 1 1 × 0 + 2 × 1 + 1 × 1 0 × 1 + 1 × 0 + 2 × 1 0 × 0 + 1 × 1 + 2 × 1 = = 2 3 2 3 ⏟ 2 × 2

В ⏟ 3 × 2 × А ⏟ 2 × 3 = 1 0 0 1 1 1 × 1 2 1 0 1 2 = 1 × 1 + 0 × 0 1 × 2 + 0 × 1 1 × 1 + 0 × 2 0 × 1 + 1 × 0 0 × 2 + 1 × 1 0 × 1 + 1 × 2 1 × 1 + 1 × 0 1 × 2 + 1 × 1 1 × 1 + 1 × 2 = 1 2 1 0 1 2 1 3 3 ⏟ 3 × 3

Произведение А В и В А найдены, но являются матрицами разных размеров: А В не равна В А .

Свойства умножения матриц

Свойства умножения матриц:

  • ( А В ) С = А ( В С ) — ассоциативность умножения матриц;
  • А ( В + С ) = А В + А С — дистрибутивность умножения;
  • ( А + В ) С = А С + В С — дистрибутивность умножения;
  • λ ( А В ) = ( λ А ) В
Читайте также:  Как послать телеграмму с мобильного телефона

Пример 1

Проверяем свойство №1: ( А В ) С = А ( В С ) :

( А × В ) × А = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 × 1 0 0 2 = 19 22 43 50 × 1 0 0 2 = 19 44 43 100 ,

А ( В × С ) = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 1 0 0 2 = 1 2 3 4 × 5 12 7 16 = 19 44 43 100 .

Проверяем свойство №2: А ( В + С ) = А В + А С :

А × ( В + С ) = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 + 1 0 0 2 = 1 2 3 4 × 6 6 7 10 = 20 26 46 58 ,

А В + А С = 1 2 3 4 × 5 6 7 8 + 1 2 3 4 × 1 0 0 2 = 19 22 43 50 + 1 4 3 8 = 20 26 46 58 .

Произведение трех матриц

Произведение трех матриц А В С вычисляют 2-мя способами:

  • найти А В и умножить на С : ( А В ) С ;
  • либо найти сначала В С , а затем умножить А ( В С ) .

​​​​​Пример 3

Перемножить матрицы 2-мя способами:

4 3 7 5 × — 28 93 38 — 126 × 7 3 2 1

Алгоритм действий:

  • найти произведение 2-х матриц;
  • затем снова найти произведение 2-х матриц.

1). А В = 4 3 7 5 × — 28 93 38 — 126 = 4 ( — 28 ) + 3 × 38 4 × 93 + 3 ( — 126 ) 7 ( — 28 ) + 5 × 38 7 × 93 + 5 ( — 126 ) = 2 — 6 — 6 21

2). А В С = ( А В ) С = 2 — 6 — 6 21 7 3 2 1 = 2 × 7 — 6 × 2 2 × 3 — 6 × 1 — 6 × 7 + 21 × 2 — 6 × 3 + 21 × 1 = 2 0 0 3 .

Используем формулу А В С = ( А В ) С :

1). В С = — 28 93 38 — 126 7 3 2 1 = — 28 × 7 + 93 × 2 — 28 × 3 + 93 × 1 38 × 7 — 126 × 2 38 × 3 — 126 × 1 = — 10 9 14 — 12

2). А В С = ( А В ) С = 7 3 2 1 — 10 9 14 — 12 = 4 ( — 10 ) + 3 × 14 4 × 9 + 3 ( — 12 ) 7 ( — 10 ) + 5 × 14 7 × 9 + 5 ( — 12 ) = 2 0 0 3

Ответ: 4 3 7 5 — 28 93 38 — 126 7 3 2 1 = 2 0 0 3

Умножение матрицы на число

Произведение матрицы А на число k — это матрица В = А k того же размера, которая получена из исходной умножением на заданное число всех ее элементов:

b i , j = k × a i , j

Свойства умножения матрицы на число:

  • 1 × А = А
  • 0 × А = нулевая матрица
  • k ( A + B ) = k A + k B
  • ( k + n ) A = k A + n A
  • ( k × n ) × A = k ( n × A )

Пример 4

Найдем произведение матрицы А = 4 2 9 0 на 5.

5 А = 5 4 2 9 0 5 × 4 5 × 2 5 × 9 5 × 0 = 20 10 45 0

Умножение матрицы на вектор

Чтобы найти произведение матрицы и вектора, необходимо умножать по правилу «строка на столбец»:

  • если умножить матрицу на вектор-столбец число столбцов в матрице должно совпадать с числом строк в векторе-столбце;
  • результатом умножения вектора-столбца является только вектор-столбец:
Читайте также:  Отзывы о ремонте бытовой техники

А В = а 11 а 12 ⋯ а 1 n а 21 а 22 ⋯ а 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ а m 1 а m 2 ⋯ а m n b 1 b 2 ⋯ b 1 n = a 11 × b 1 + a 12 × b 2 + ⋯ + a 1 n × b n a 21 × b 1 + a 22 × b 2 + ⋯ + a 2 n × b n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a m 1 × b 1 + a m 2 × b 2 + ⋯ + a m n × b n = c 1 c 2 ⋯ c 1 m

  • если умножить матрицу на вектор-строку, то умножаемая матрица должна быть исключительно вектором-столбцом, причем количество столбцов должно совпадать с количеством столбцов в векторе-строке:

А В = а а ⋯ а b b ⋯ b = a 1 × b 1 a 1 × b 2 ⋯ a 1 × b n a 2 × b 1 a 2 × b 2 ⋯ a 2 × b n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a n × b 1 a n × b 2 ⋯ a n × b n = c 11 c 12 ⋯ c 1 n c 21 c 22 ⋯ c 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ c n 1 c n 2 ⋯ c n n

Найдем произведение матрицы А и вектора-столбца В :

А В = 2 4 0 — 2 1 3 — 1 0 1 1 2 — 1 = 2 × 1 + 4 × 2 + 0 × ( — 1 ) — 2 × 1 + 1 × 2 + 3 × ( — 1 ) — 1 × 1 + 0 × 2 + 1 × ( — 1 ) = 2 + 8 + 0 — 2 + 2 — 3 — 1 + 0 — 1 = 10 — 3 — 2

Найдем произведение матрицы А и вектора-строку В :

А = 3 2 0 — 1 , В = — 1 1 0 2

А В = 3 2 0 1 × — 1 1 0 2 = 3 × ( — 1 ) 3 × 1 3 × 0 3 × 2 2 × ( — 1 ) 2 × 1 2 × 0 2 × 2 0 × ( — 1 ) 0 × 1 0 × 0 0 × 2 1 × ( — 1 ) 1 × 1 1 × 0 1 × 2 = — 3 3 0 6 — 2 2 0 4 0 0 0 0 — 1 1 0 2

Ответ: А В = — 3 3 0 6 — 2 2 0 4 0 0 0 0 — 1 1 0 2

Используя этот онлайн калькулятор для умножения матриц, вы сможете очень просто и быстро найти произведение двух матриц.

Воспользовавшись онлайн калькулятором для умножения матриц, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения таких задач, а также закрепить пройденный материал.

Умножение матриц онлайн

Выберите необходимый вам размер матриц:

Введите значения Матриц:

Ввод данных в калькулятор для умножения матриц

В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Дополнительные возможности калькулятора для умножения матриц

  • Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши , , и на клавиатуре.

Теория. Умножение матриц.

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector