Умножение матриц примеры с ответами

Умножение матриц примеры с ответами

Свойства умножения матриц

  • (A · B) · C= A · (B · C) — произведение матриц ассоциативно;
  • ( z · A) · B= z · (A · B), где z — число;
  • A · (B + C) = A · B + A · C — произведение матриц дистрибутивно;
  • E n · A nm = A nm · E m = A nm — умножение на единичную матрицу;
  • A · B ≠ B · A — в общем случае произведение матриц не коммутативно.
  • Произведением двух матриц есть матрица, у которой столько строк, сколько их у левого сомножителя, и столько столбцов, сколько их у правого сомножителя.

Примеры задач на умножение матриц

С = A · B = 4 2 9 0 · 3 1 -3 4 = 6 12 27 9

Элементы матрицы C вычисляются следующим образом:

C = A · B = 2 1 -3 0 4 -1 · 5 -1 6 -3 0 7 = 7 -2 19 -15 3 -18 23 -4 17

Элементы матрицы C вычисляются следующим образом:

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Чтобы можно было умножить две матрицы, количество столбцов первой матрицы должно быть равно количеству строк второй матрицы.

Алгоритм умножения матриц

Умножаем элементы в строках первой матрицы на элементы в столбцах второй матрицы.

  1. Умножаем элементы первой строки на элементы первого столбца.
    • Умножаем первый элемент первой строки на первый элемент первого столбца.
    • Умножаем второй элемент первой строки на второй элемент первого столбца.
    • Делаем то же самое с каждым элементом, пока не дойдем до конца как первой строки первой матрицы, так и первого столбца второй матрицы.
    • Складываем полученные произведения.
    • Полученный результат будет первым элементом первой строки произведения матриц.
    • Умножаем элементы первой строки первой матрицы на элементы второго столбца второй матрицы.
      • Умножаем первый элемент первой строки на первый элемент второго столбца.
      • Умножаем второй элемент первой строки на второй элемент второго столбца.
      • Делаем то же самое с каждым элементом, пока не дойдем до конца как первой строки первой матрицы, так и второго столбца второй матрицы.
      • Складываем полученные произведения.
      • Полученный результат будет вторым элементом первой строки произведения матриц.
      • Применяя тот же самый алгоритм, умножаем элементы первой строки первой матрицы на элементы остальных столбцов второй матрицы. Полученные числа составят первую строку вычисляемой матрицы.
      • Вторая строка вычисляемой матрицы находится аналогично умножением элементов второй строки первой матрицы на элементы каждого столбца второй матрицы: результаты записываются в новую матрицу после каждого суммирования.
      • Делаем это с каждой строкой первой матрицы, пока все строки новой матрицы не будут заполнены.

      Пример 7
      $A= egin 1 & 2 & 2\ 3 & 1 & 1 end$
      $B=egin
      4 & 2 \ 3 & 1 \ 1 & 5\ end$

      Заметим, что матрица A имеет 3 столбца, а матрица B имеет 3 строки, значит, их можно перемножить.

      $B cdot A = egin color4 &color2 \ color3 & color1 \ color1 & color5 end egin color1 &color2 & color2\ color3 &color1 & color1 end=$

      Заметим, что $A cdot B
      eq B cdot A$

      Пример 8
      $A= egin 5 & 2 \ 3 & 1 end B= egin 4 & 6 \ 5 & 2 end$

      Читайте также:  Внешний корпус для hdd agestar 3c4b3a

      Опять-таки $A cdot B
      eq B cdot A$.

      Пример 9
      $A= egin 1 & 4 & 3 \ 2 & 1 & 5\ 3 & 2 & 1 end B= egin 5 & 2 & 1 \ 4 & 3 & 2 \ 2 & 1 & 5 end$

      Опять-таки $A cdot B
      eq B cdot A$.

      Заметим, что $A cdot I_ <2>= I_ <2>cdot A=A$.

      Пример 11
      $A=egin 1 & 4 & 3 \ 2 & 1 & 5\ 3 & 2 & 1 end I_<3>= egin 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 end$

      Опять-таки $A cdot I_ <3>= I_ <3>cdot A = A$.

      Примечание:

      1. В общем случае умножение матриц некоммуникативно.
      2. $Acdot I_ = I_ cdot A = A$ для любой матрицы A, имеющей n столбцов.

      Матрицы широко применяются в математике для компактной записи СЛАУ или систем дифференциальных уравнений. Тогда количество строк матрицы соответствует количеству уравнений системы, а количество столбцов равно количеству неизвестных. Матричный аппарат позволяет свести решение громоздких СЛАУ к компактным операциям над матрицами.

      На практике, они позволяют не делать лишних операций и сократить время выполнения задач. Поэтому, будущим специалистам очень важно понять теорию матриц и научиться решать задачи с ними. Перед изучением примеров решения задач советуем изучить теоретический материал по матрицам, прочитать все определения и свойства. Список тем находится в правом меню.

      Примеры по темам:

      Матрицы: основные определения и понятия

      Задание. Чему равен элемент $ a_ <23>$ матрицы $ A=left( egin <1>& <4>& <0>\ <-1>& <3>& <7>end
      ight) $ ?

      Решение. Находим элемент, который стоит на пересечении второй строки и третьего столбца:

      Таким образом, $a_<23>=7$.

      Ответ. $a_<23>=7$

      Умножение матрицы на число

      Теоретический материал по теме — умножение матрицы на число.

      Задание. Пусть $A=left( egin <3>\ <-1>end
      ight)$ . Найти матрицу 2$A$.

      Ответ. $2 A=left( egin <6>\ <-2>end
      ight)$

      Сложение и вычитание матриц

      Теоретический материал по теме — сложение и вычитание матриц.

      Задание. Найти матрицу $C=A-3 B$, если $A=left( egin <1>& <2>\ <2>& <-1>\ <3>& <0>end
      ight), B=left( egin
      <-1>& <1>\ <1>& <2>\ <0>& <0>end
      ight)$

      Умножение матриц

      Теоретический материал по теме — умножение матриц.

      Задание. Вычислить $A B$ и $B A$, если $A=left( egin <1>& <-1>\ <2>& <0>\ <3>& <0>end
      ight), B=left( egin
      <1>& <1>\ <2>& <0>end
      ight)$

      Решение. Так как $A=A_<3 imes 2>$ , а $B=B_<2 imes 2>$ , то произведение возможно и результатом операции умножения будет матрица $C=C_<3 imes 2>$ , а это матрица вида $C=left( egin<11>> & <12>> \ <21>> & <22>> \ <31>> & <32>>end
      ight)$ .

      Вычисли элементы матрицы $C$ :

      $ c_<11>=a_ <11>cdot b_<11>+a_ <12>cdot b_<21>=1 cdot 1+(-1) cdot 2=-1 $

      $ c_<12>=a_ <11>cdot b_<12>+a_ <12>cdot b_<22>=1 cdot 1+(-1) cdot 0=1 $

      $ c_<21>=a_ <21>cdot b_<11>+a_ <22>cdot b_<21>=2 cdot 1+0 cdot 2=2 $

      $ c_<22>=a_ <21>cdot b_<12>+a_ <22>cdot b_<22>=2 cdot 1+0 cdot 0=2 $

      $ c_<31>=a_ <31>cdot b_<11>+a_ <32>cdot b_<21>=3 cdot 1+0 cdot 2=3 $

      $ c_<31>=a_ <31>cdot b_<12>+a_ <32>cdot b_<22>=3 cdot 1+0 cdot 0=3 $

      Выполним произведения в более компактном виде:

      Найдем теперь произведение $D=B A=B_ <2 imes 2>cdot A_<3 imes 2>$. Так как количество столбцов матрицы $B$ (первый сомножитель) не совпадает с количеством строк матрицы $A$ (второй сомножитель), то данное произведение неопределенно. Умножить матрицы в данном порядке невозможно.

      Читайте также:  Какая плита лучше газовая или комбинированная отзывы

      Ответ. $A B=left( egin <-1>& <1>\ <2>& <2>\ <3>& <3>end
      ight)$ . В обратном порядке умножить данные матрицы невозможно, так как количество столбцов матрицы $B$ не совпадает с количеством строк матрицы $A$ .

      Транспонирование матрицы

      Теоретический материал по теме — транспонирование матрицы.

      Задание. Найти матрицу $A^$, если $A=left( egin <1>& <0>\ <-2>& <3>end
      ight)$

      Минор и алгебраическое дополнение

      Задание. Найти минор $M_<23>$ к элементу $a_<23>$ определителя $left| egin <1>& <2>& <-1>\ <1>& <0>& <3>\ <7>& <8>& <4>end
      ight|$ .

      Решение. Вычеркиваем в заданном определителе вторую строку и третий столбец:

      Задание. Найти алгебраическое дополнение $A_<23>$ к элементу $a_<23>$ определителя $left| egin <1>& <2>& <-1>\ <1>& <0>& <3>\ <7>& <8>& <4>end
      ight|$ .

      Вычисление определителя

      Задание. Вычислить определитель второго порядка $left| egin <11>& <-2>\ <7>& <5>end
      ight|$

      Решение. $left| egin <11>& <-2>\ <7>& <5>end
      ight|=11 cdot 5-(-2) cdot 7=55+14=69$

      Задание. Вычислить определитель $left| egin <3>& <3>& <-1>\ <4>& <1>& <3>\ <1>& <-2>& <-2>end
      ight|$ методом треугольников.

      Решение. $left| egin <3>& <3>& <-1>\ <4>& <1>& <3>\ <1>& <-2>& <-2>end
      ight|=3 cdot 1 cdot(-2)+4 cdot(-2) cdot(-1)+$

      $+3 cdot 3 cdot 1-(-1) cdot 1 cdot 1-3 cdot(-2) cdot 3-4 cdot 3 cdot(-2)=54$

      Задание. Вычислить определитель $left| egin <1>& <2>& <3>\ <4>& <5>& <6>\ <7>& <8>& <9>end
      ight|$

      Решение. Выполним следующие преобразования над строками определителя: из второй строки отнимем четыре первых, а из третьей первую строку, умноженную на семь, в результате, согласно свойствам определителя, получим определитель, равный данному.

      Определитель равен нулю, так как вторая и третья строки являются пропорциональными.

      Задание. Вычислить определитель $Delta=left| egin <-2>& <1>& <3>& <2>\ <3>& <0>& <-1>& <2>\ <-5>& <2>& <3>& <0>\ <4>& <-1>& <2>& <-3>end
      ight|$ приведением его к треугольному виду.

      Решение. Сначала делаем нули в первом столбце под главной диагональю. Все преобразования будет выполнять проще, если элемент $a_<11>$ будет равен 1. Для этого мы поменяем местами первый и второй столбцы определителя, что, согласно свойствам определителя, приведет к тому, что он сменит знак на противоположный:

      Далее получим нули в первом столбце, кроме элемента $a_<11>$ , для этого из третьей строки вычтем две первых, а к четвертой строке прибавим первую, будем иметь:

      Далее получаем нули во втором столбце на месте элементов, стоящих под главной диагональю. И снова, если диагональный элемент будет равен $pm 1$ , то вычисления будут более простыми. Для этого меняем местами вторую и третью строки (и при этом меняется на противоположный знак определителя):

      Далее делаем нули во втором столбце под главной диагональю, для этого поступаем следующим образом: к третьей строке прибавляем три вторых, а к четвертой — две вторых строки, получаем:

      Далее из третьей строки выносим (-10) за определитель и делаем нули в третьем столбце под главной диагональю, а для этого к последней строке прибавляем третью:

      Ответ. $Delta=-80$

      Нахождение обратной матрицы

      Задание. Для матрицы $A=left( egin <7>& <4>\ <5>& <3>end
      ight)$ найти обратную методом присоединенной матрицы.

      Решение. Приписываем к заданной матрице $A$ справа единичную матрицу второго порядка:

      Читайте также:  Майкрософт виндовс не отвечает что делать

      От первой строки отнимаем вторую (для этого от элемента первой строки отнимаем соответствующий элемент второй строки):

      От второй строки отнимаем две первых:

      Первую и вторую строки меняем местами:

      От второй строки отнимаем две первых:

      Вторую строку умножаем на (-1), а к первой строке прибавляем вторую:

      Итак, слева получили единичную матрицу, а значит матрица, стоящая в правой части (справа от вертикальной черты), является обратной к исходной.

      Таким образом, получаем, что $A^<-1>=left( egin <3>& <-4>\ <-5>& <7>end
      ight)$

      Задание. Найти обратную матрицу для $A=left( egin <1>& <1>\ <1>& <2>end
      ight)$

      Решение. Шаг 1. Находим определитель: $Delta=left| egin <1>& <1>\ <1>& <2>end
      ight|=2-1=1
      eq 0$

      Задание. Найти обратную матрицу к матрице $A=left( egin <1>& <0>& <2>\ <2>& <-1>& <1>\ <1>& <3>& <-1>end
      ight)$

      Решение. Вычисляем определитель матрицы:

      $Delta=left| egin <1>& <0>& <2>\ <2>& <-1>& <1>\ <1>& <3>& <-1>end
      ight|=1 cdot(-1) cdot(-1)+2 cdot 3 cdot 2+0 cdot 1 cdot 1-$

      $-1 cdot(-1) cdot 2-3 cdot 1 cdot 1-2 cdot 0 cdot(-1)=1+12+0+2-3+0=12
      eq 0$

      Так как определитель не равен нулю, то матрица имеет обратную. Обратная матрица $A^<-1>$ к матрице $A$ находится по формуле:

      Транспонируем эту матрицу (т.е. строки матрицы делаем столбцами с тем же номером):

      Нахождение ранга матрицы

      Теоретический материал по теме — нахождение ранга матрицы.

      Решение. С помощью элементарных преобразований над ее строками приведем матрицу $A$ к ступенчатому виду. Для этого вначале от третьей строки отнимем две вторых:

      От второй строки отнимаем четвертую строку, умноженную на 4; от третьей — две четвертых:

      Ко второй строке прибавим пять первых, к третьей — три третьих:

      Меняем местами первую и вторую строчки:

      Далее четвертую и первую строки:

      Ответ. $operatorname A=2$

      Задание. Найти ранг матрицы $A=left( egin <1>& <2>& <-1>& <-2>\ <2>& <4>& <3>& <0>\ <-1>& <-2>& <6>& <6>end
      ight)$ , используя метод окаймления миноров.

      Решение. Минорами минимального порядка являются миноры первого порядка, которые равны элементам матрицы $A$ . Рассмотрим, например, минор $M_<1>=1
      eq 0$ . расположенный в первой строке и первом столбце. Окаймляем его с помощью второй строки и второго столбца, получаем минор $M_<2>^<1>=left| egin <1>& <2>\ <2>& <4>end
      ight|=0$ ; рассмотрим еще один минор второго порядка, для этого минор $M_<1>$ окаймляем при помощи второй строки и третьего столбца, тогда имеем минор $M_<2>^<2>=left| egin
      <1>& <-1>\ <2>& <3>end
      ight|=5
      eq 0$ , то есть ранг матрицы не меньше двух. Далее рассматриваем миноры третьего порядка, которые окаймляют минор $M_<2>^<2>$ . Таких миноров два: комбинация третьей строки со вторым столбцом или с четвертым столбцом. Вычисляем эти миноры:

      так как содержит два пропорциональных столбца (первый и второй); второй минор

      преобразуем следующим образом: к первой строке прибавим третью, а ко второй две третьих:

      И так как первая и вторая строки пропорциональны, то минор равен нулю.

      Таким образом, все окаймляющие миноры третьего порядка равны нулю. А, значит, ранг матрицы $A$ равен двум: $operatorname A=2$

      Ответ. $operatorname A=2$

      Ссылка на основную публикацию
      Adblock detector