Точка пересечения параболы с осью оу

Точка пересечения параболы с осью оу

Тестирование онлайн

Определение. График

Квадратичной (квадратной) функцией называется функция вида

где a, b, с — числа.

Графиком квадратичной функции является парабола.

Парабола имеет вершину, ось, проведенная через вершину и параллельная оси Оу, делит параболу на две симметричные части. Вершиной параболы называется точка

Если коэффициент а>0, то ветви параболы направлены вверх, если a 2

1) Областью определения функции является множество всех действительных чисел, т.е.

2) Множеством значений функции является промежуток

3) Значение функции y=0 является наименьшим, а наибольшего значения функция не имеет.

4) Функция является четной, график симметричен относительно оси Оу.

6)Парабола имеет с осями координат единственную общую точку (0;0) — начало координат.

7) Значение аргумента x=0 является нулем функции.

8) На промежутке функция убывающая, а на промежутке — возрастающая.

9) Функция принимает положительные значения на множестве , т.е. все точки параболы, кроме начала координат.

Преобразование параболы

Функция y=x 2 — частный случай квадратичной функции.

Квадратичную функцию всегда можно привести у виду , а затем построить параболу с помощью ее геометрических преобразований.

Для построения параболы необходимо:

1) Найти координаты вершины

2) Построить ось симметрии, проанализировать куда направлены ветви параболы

3) Найти точки пересечения параболы с осью Ox (нули), если они есть, решив уравнение

4) Найти точку пересечения с осью Оу, решив уравнение

Как найти точки пересечения графика функции с осями координат?

С осью абсцисс график функции может иметь любое количество общих точек (или ни одной). С осью ординат — не более одной (так как по определению функции каждому значению аргумента ставится в соответствие единственное значение функции).

Чтобы найти точки пересечения графика функции y=f(x) с осью абсцисс, надо решить уравнение f(x)=0 (то есть найти нули функции).

Чтобы найти точку пересечения графика функции с осью ординат, надо в формулу функции вместо каждого x подставить нуль, то есть найти значение функции при x=0: y=f(0).

1) Найти точки пересечения графика линейной функции y=kx+b с осями координат.

Читайте также:  Как работать через спутник

В точке пересечения графика функции с осью Ox y=0:

kx+b=0, => x= -b/k. Таким образом, линейная функция пересекает ось абсцисс в точке ( -b/k ; 0).

В точке пересечения с осью Oy x=0:

y=k∙0+b=b. Отсюда, точка пересечения графика линейной функции с осью ординат — (0; b).

Например, найдём точки пересечения с осями координат графика линейной функции y=2x-10.

2x-10=0; x=5. С Ox график пересекается в точке (5; 0).

y=2∙0-10=-10. С Oy график пересекается в точке (0; -10).

2) Найти точки пересечения графика квадратичной функции y=ax²+bx+c с осями координат.

В точке пересечения графика с осью абсцисс y=0. Значит, чтобы найти точки пересечения графика квадратичной функции (параболы) с осью Ox, надо решить квадратное уравнение ax²+bx+c=0.

В зависимости от дискриминанта, парабола пресекает ось абсцисс в одной точке или в двух точках либо не пересекает Ox.

В точке пересечения графика с осью Oy x=0.

y=a ∙ 0²+b ∙ 0+c=с. Следовательно, (0; с) — точка, в которой парабола пересекает ось ординат.

Например, найдём точки пересечения с осями координат графика функции y=x²-9x+20.

x1=4; x2=5. График пересекает ось абсцисс в точках (4; 0) и (5; 0).

y=0²-9∙0+20=20. Отсюда, (0; 20) — точка пересечения параболы y=x²-9x+20 с осью ординат.

Квадратичная функция — функция вида:

В уравнении квадратичной функции:

a –старший коэффициент

b – второй коэффициент

с свободный член.

Графиком квадратичной функции является квадратичная парабола, которая для функции

Имеет вид и строится по «базовым точкам»:

Парабола состоит из 2 частей: одна находится в I четверти, где значения X и Y положительные, а вторая часть – во II четверти, где значения X отрицательные, а значения Y положительные.

Если двигаться по одной ветви параболы от -∞ к 0, то мы замечаем, что функция убывает, если двигаться по другой ветви гиперболы от 0 до +∞, то мы замечаем, что функция возрастает.

Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент a=1, то график квадратичной функции имеет ровно такую же форму, как y(x)=x 2 при любых значениях остальных коэффициентов.

Читайте также:  Уменьшить пробелы между словами word

Имеет вид и строится по «базовым точкам»:

Парабола состоит из 2 частей: одна находится в III четверти, где значения X и Y отрицательные, а вторая часть – в I V четверти, где значения X положительные, а значения Y отрицательные.

y(x) 0, при x ∈ (-∞;0) ∪ (0;+∞)

Если двигаться по одной ветви параболы от -∞ к 0, то мы замечаем, что функция возрастает, если двигаться по другой ветви гиперболы от 0 до +∞, то мы замечаем, что функция убывает.

1) Область определения функции:

2)Область значения функции:

3)Наибольшее и наименьшее значение функции:

4)Y(x)=x 2 — четная функция(т.к.f(-x)=x 2 =(-x) 2 =f(x) ).

График симметричен относительно оси oY .

5) Ограниченность функции:

Если a>0, функция ограничена снизу.

Если a , функция ограничена сверху.

6) Функция пересекает оси oX и oY в точке (0;0)

Перемещение параболы y(x)=x 2

Если добавить константу d (где d любое число), в качестве слагаемого к X , то произойдет перемещение параболыпо оси (вместе с вертикальной асимптотой).

В таком случае уравнением функции станет:

Если d >0 ( y(x)=(x+d) 2 ) , то график функции передвигается по оси oX влево.

Для примера возьмем уравнение y=(x+2) 2

Если d 2 ) , то график функции передвигается по оси oX вправо.

Для примера возьмем уравнение y=(x-2) 2

Если добавить константу c(где cлюбое число) к X 2 в качестве слагаемого, то произойдет перемещение параболы по оси oY (вместе с горизонтальной асимптотой)

В таком случае уравнением функции станет:

Если c >0 ( y(x)=(x) 2 +c ), то график функции передвигается по оси oY вверх .

Для примера возьмем уравнение y=(x) 2 +2

Если c y(x)=(x) 2 -c ), то график функции передвигается по оси oY вниз.

Для примера возьмем уравнение y=(x) 2 -3

Дискриминант и нахождение корней

1) 1) Если D>0 то уравнение ax 2 +bx+c=0 имеет 2 решения, уравнение y=ax 2 +bx+c имеет 2 точки пересечения с осью oX:

Если a>0, график функции будет иметь примерный вид:

2) Если D=0, то уравнение ax 2 +bx+c=0 имеет 1 решение,=> уравнениеy=ax 2 +bx+c имеет 1 точку пересечения с осью oX.

Читайте также:  Как открыть учетную запись администратора

Если a>0, график функции будет иметь примерный вид:

3) Если D 2 +bx+c=0 не имеет решения, => уравнениеy=ax 2 +bx+c не имеет общих точек пересечения с осью oX.

Если a>0, график функции будет иметь примерный вид:

Координаты вершины параболы

Координаты вершины параболы находятся через данные формулы:

Прямая, проходящая через вершину параболы является осью симметрии параболы.

Точка пересечения с осью oY

Так как абсцисса любой точки, лежащей на оси oY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы y=ax 2 +bx+c с осью oY, нужно в уравнение параболы вместо Xподставить 0, тогда y(0)=c.

Алгоритм построения квадратичной параболы

1) Направление ветвей.

2) Координаты вершины параболы.

3) Корни дискриминанта.

4) Дополнительные точки.

5) Построение графика.

Построим функцию y=x 2 -6x+15

В квадратичном трехчлене x 2 -6x+15, чтобы выразить квадрат разности, используем формулу сокращенного умножения.

Базовая формула: (a±b) 2 =x 2 ±2ab+b 2 ,

Выразим квадрат разности: x 2 -6x+15=(x 2 -6x+9)+6,

Соберем формулу: (x 2 -6x+9)+6=(x-3) 2 +6,

У нас получилась функция y=(x-3) 2 +6,

Мы замечаем, что график функции смещен на 3 по оси oX вправо и на 6 по оси oY вверх.

Следовательно, график функции y=(x-3) 2 +6 будет выглядеть таким образом:

Построим функцию y=x 2 +8x+17

В квадратичном трехчлене x 2 +8x+17,чтобы выразить квадрат разности, используем формулу сокращенного умножения.

Базовая формула: (a±b) 2 =x 2 ±2ab+b 2 ,

Выразим квадрат разности: x 2 +8x+17=(x 2 +8x+16)+1,

Соберем формулу: (x 2 +8x+16)+1=(x+4) 2 +1,

У нас получилась функция y=(x+4) 2 +1,

Мы замечаем, что график функции смещен на 4 oX влево и на 1 по оси oY вверх.

Следовательно, график функции y=(x+4) 2 +1 будет выглядеть таким образом:

Чтобы разложить квадратный трехчлен, использую такой алгоритм:

1) Выразим квадрат разности из данного трехчлена, с помощью формул сокращенного умножения;

2) Соберем, получившуюся формулу;

3) «Прочитаем» график, на смещение, относительно осей координат;

4) Построим график.

Автор статьи: Мажаров Данила Михайлович

Редакторы: Агеева Любовь Александровна, Гаврилина Анна Викторовна

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector