Теорема об инвариантности формул интегрирования

Теорема об инвариантности формул интегрирования

Понятие комплексного числа.

Геометрическое изображение комплексного числа.

Сложение и вычитание комплексных чисел.

Умножение и деление комплексных чисел.

Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа.

Возведение в степень и извлечение корня из комплексного числа.

Тема 8 «Неопределённый интеграл» Первообразная функция. Основная теорема о первообразных

В предыдущем семестре мы рассматривали задачу: пусть дана функция F (x). Требуется найти ее производную f (x) = F ’ (x). (Это задача дифференциального исчисления).

Сейчас мы рассмотрим обратную задачу: дана производная f (x) = F | (x). Требуется найти функцию F (x) (это задача интегрального исчисления).

Определение: Первообразной от функции f (x) называют функцию F (x), производная которой равна данной функции; т.е. F | (x) = f (x).

Примеры: f (x) = cosx; F (x) = sinx; f (x) = х 2 ; F (x) =

Легко видеть, что если для данной функции f (x) существует первообразная, то она не является единственной

или , где С = const

С другой стороны можно показать, что функции вида , исчерпывает все производные для функции f (x) = х 2 . Это вытекает из следующей теоремы.

Теорема. Если F1 (x) = F2 (x) две производные от функции f (x)? То разность между ними равна постоянному числу.

Из этой теоремы следует, что если для данной функции f (x) найдена какая-то производная F (x), то любая другая производная для f (x) имеет вид

F (x) + С где С = const

Понятие неопределенного интеграла

Определение. Если функция F (x) является первообразной для функции f (x). То выражение F (x) + с называется неопределенным интегралом от функции f (x) и обозначается символом

то есть

При этом функция f (x) называется подынтегральной функцией f (x)dx – подынтегральным выражением; — знак интеграла.

Вывод. Неопределенный интеграл представляет собой семейство функций F (x) + С.

Определение. Нахождение первообразной для данной функции f (x) называется интегрированием этой функции.

Определение. С геометрической точки зрения неопределенный интеграл представляет семейство кривых, зависящих от одного параметра, каждая из которых получается путем сдвига одной из них параллельно самой себе вдоль оси оу (рис 1). (Геометрический смысл неопределенного интеграла).

Давая С различные значения, получаем семейство кривых.

Основные свойства неопределенного интеграла

Свойство 1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции

(I)

Свойство 2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению

(II)

Свойство 3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции F (x) равен самой функции с точностью до постоянной C.

Читайте также:  Вирус в svchost exe как вылечить

(III)

Свойство 4. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла.

(IV)

Свойство 5. Интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов слагаемых функций

(V)

Инвариантность формул интегрирования

Теорема. Всякая формула интегрирования сохраняет свой вид при подстановке вместо независимой переменной любой дифференцируемой функции от нее, т.е. если , то , где u = φ (x) – любая дифференцируемая функция х.

Это правило очень важно. Основная таблица интегралов в силу этого правила оказывается справедливой независимо от того является переменная интегрирования независимо переменной или любой дифференцируемой функции ее.

Таблица основных формул интегрирования

Интегрирование есть действие обратное дифференцированию. Поэтому основные формулы интегрирования можно получить из соответствующих формул дифференциального исчисления.

1)

2)

2а)

2б)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

Интеграл. Интегральное исчисление. Правила интегрирования

&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp Простейшие правила интегрирования

&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp Теорема I (об интеграле суммы). Интеграл от суммы конечного числа функций равен сумме интегралов от слагаемых функций

$$int (u+v+. +w)dx=int udx+int vdx+. +int wdx,$$

где (u+v+. +w) — функции независимой переменной (x).
&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp Равенства, в обеих частях котрых стоят неопределенные интегралы, означают, чтолевая и правая их части являются совокупностями первообразных от одной и той же функции. Следовательно, для проверки таких равенств достаточно убедиться, что производные обеих частей равны между собой.
&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp Производная левой части равенства (1) по обпределению интеграла равна (u+v+. +w). применяя к правой части правило дифференцирования суммы, опять получим $$[int udx+int vdx+. +int wdx]’=(int udx)’+(int vdx)’+. +(int wdx)’=u+v+. +w.$$ Теорема доказана.

&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp Теорема II (о вынесении постоянного множителя). Постоянный множитель подынтегральной функции можно вынести за символ интеграла $$int cf(x)dx=cint f(x)dx,$$ где (c) — константа.
&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp Действительно, производные обеих частей равенства равны $$(int cf(x)dx)’=cf(x);$$ $$(cint f(x)dx)’=c(int f(x)dx)’=cf(x),$$ что и требовалось доказать.
&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp Пример. $$int (2 sinx-3cos x)dx=2int sinxdx-3int cosxdx=-2cosx-3sinx+C.$$ Хотя каждое промежуточное интегрирование дает произвольное постоянное слагаемое, в окончательном результате указывается только одно слагаемое, так как сумма произвольных постоянных будет также произвольной постоянной.

Читайте также:  Как пользоваться скайпом в windows 10

&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp Теорема III (об инвариантности формул интегрирования). Всякая формула интегрирования сохраняет свой вид при подстановке вместо независимой переменной любой дифференцируемой функции от нее, т.е. если $$int f(x)dx=F(x)+C, то &nbsp и int f(u)du=F(u)+C,$$ где (u=varphi (x)) — любая дифференцируемая функция от (x).
&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp Доказательство. Из того, что (int f(x)dx=F(x)+C), следует (F'(x)=f(x)).
&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp Возьмем теперь функцию (F(u)=F[varphi (x)]); для ее дифференциала в силу теоремы об инвариантности вида первого дифференциала функции имеем $$dF(u)=F'(u)du=f(u)du.$$ Отсюда $$int f(u)du=int dF(u)=F(u)+C.$$
&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp Это правило очень важно. Основная таблица интегралов в силу этого правила оказывается справедливой независимо от того, является ли переменная интегрирования независимой переменной или любой дифференцируемой функцией ее.
&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp Нужно стараться так преобразовать подынтегральное выражение, чтобы оно приняло вид подынтегрального выражения известного нам интеграла, например, одного из интегралов основной таблицы.
&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp Пример. Возьмем интеграл (int 2xe^<2>>dx). Замечая, что (2xdx) есть не что иное, как дифференциал (d(x^<2>)), перепишем интеграл так: $$int 2xe^<2>>dx=int e^<2>>d(x^<2)>=int e^du,$$ где положено (u=x^<2>). Последний интеграл, согласно формуле основной таблицы интегралов и теореме III, равен (e^+C), значит, $$int 2xe^<2>>dx=e^<2>>+C.$$

Понятие комплексного числа.

Геометрическое изображение комплексного числа.

Сложение и вычитание комплексных чисел.

Умножение и деление комплексных чисел.

Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа.

Возведение в степень и извлечение корня из комплексного числа.

Тема 8 «Неопределённый интеграл» Первообразная функция. Основная теорема о первообразных

В предыдущем семестре мы рассматривали задачу: пусть дана функция F (x). Требуется найти ее производную f (x) = F ’ (x). (Это задача дифференциального исчисления).

Сейчас мы рассмотрим обратную задачу: дана производная f (x) = F | (x). Требуется найти функцию F (x) (это задача интегрального исчисления).

Определение: Первообразной от функции f (x) называют функцию F (x), производная которой равна данной функции; т.е. F | (x) = f (x).

Примеры: f (x) = cosx; F (x) = sinx; f (x) = х 2 ; F (x) =

Легко видеть, что если для данной функции f (x) существует первообразная, то она не является единственной

или , где С = const

С другой стороны можно показать, что функции вида , исчерпывает все производные для функции f (x) = х 2 . Это вытекает из следующей теоремы.

Читайте также:  Паскаль abc пошаговое исполнение программы

Теорема. Если F1 (x) = F2 (x) две производные от функции f (x)? То разность между ними равна постоянному числу.

Из этой теоремы следует, что если для данной функции f (x) найдена какая-то производная F (x), то любая другая производная для f (x) имеет вид

F (x) + С где С = const

Понятие неопределенного интеграла

Определение. Если функция F (x) является первообразной для функции f (x). То выражение F (x) + с называется неопределенным интегралом от функции f (x) и обозначается символом

то есть

При этом функция f (x) называется подынтегральной функцией f (x)dx – подынтегральным выражением; — знак интеграла.

Вывод. Неопределенный интеграл представляет собой семейство функций F (x) + С.

Определение. Нахождение первообразной для данной функции f (x) называется интегрированием этой функции.

Определение. С геометрической точки зрения неопределенный интеграл представляет семейство кривых, зависящих от одного параметра, каждая из которых получается путем сдвига одной из них параллельно самой себе вдоль оси оу (рис 1). (Геометрический смысл неопределенного интеграла).

Давая С различные значения, получаем семейство кривых.

Основные свойства неопределенного интеграла

Свойство 1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции

(I)

Свойство 2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению

(II)

Свойство 3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции F (x) равен самой функции с точностью до постоянной C.

(III)

Свойство 4. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла.

(IV)

Свойство 5. Интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов слагаемых функций

(V)

Инвариантность формул интегрирования

Теорема. Всякая формула интегрирования сохраняет свой вид при подстановке вместо независимой переменной любой дифференцируемой функции от нее, т.е. если , то , где u = φ (x) – любая дифференцируемая функция х.

Это правило очень важно. Основная таблица интегралов в силу этого правила оказывается справедливой независимо от того является переменная интегрирования независимо переменной или любой дифференцируемой функции ее.

Таблица основных формул интегрирования

Интегрирование есть действие обратное дифференцированию. Поэтому основные формулы интегрирования можно получить из соответствующих формул дифференциального исчисления.

1)

2)

2а)

2б)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector