Теорема о существовании тройного интеграла

Теорема о существовании тройного интеграла

Замена переменных в тройном интеграле (общий случай).

Замена переменных в тройном интеграле.

16.2.5.1. Теорема о за мена переменных в тройном интеграле.Пусть в пространстве Ouvwзадана область G, и пусть отображение преобразует эту область в область VпространстваOxyz. Будем считать, что отображение F задаётся функциями . Пусть: 1). F взаимно однозначно отображает G на V;2). Функции x(u,v,w), y(u,v,w), z(u,v,w) непрерывно дифференцируемы на G (имеют непрерывные частные производные); 3). Якобиан не обращается в нуль на G. Тогда .

Доказательствоэтой теоремы аналогично доказательству теоремы о замене переменных в двойном интеграле.

Рассмотрим наиболее часто употребляемые криволинейные системы координат в пространстве — цилиндрические и сферические.

При вычислении тройного интеграла, как и двойного, часто удобно сделать замену переменных. Это позволяет упростить вид области интегрирования или подынтегральное выражение.

Пусть исходный тройной интеграл задан в декартовых координатах x, y, z в области U:

Требуется вычислить данный интеграл в новых координатах u, v, w. Взаимосвязь старых и новых координат описывается соотношениями:

Предполагается, что выполнены следующие условия:

1. Функции φ, ψ, χ непрерывны вместе со своими частными производными;

2. Существует взаимно-однозначное соответствие между точками области интегрирования U в пространстве xyz и точками области U’ в пространстве uvw;

3. Якобиан преобразования I (u,v,w), равный

отличен от нуля и сохраняет постоянный знак всюду в области интегрирования U.

Тогда формула замены переменных в тройном интеграле записывается в виде:

В приведенном выражении означает абсолютное значение якобиана.

Для вычисления тройных интегралов часто используются цилиндрические и сферические координаты. Эти случаи рассматриваются подробно на страницах

  • Тройные интегралы в цилиндрических координатах
  • Тройные интегралы в сферических координатах

Ниже приводятся примеры вычисления интегралов с использованием других преобразований координат.

Тройной интеграл в цилиндрических координатах.

Пусть задана область VÌXOYZ, ограниченная замкнутой поверхностью; в области V и на ее границе задана функцияf (x,y,z).

Тройным интегралом от функции f(x, y, z) по области V называется конечный предел трехмерной интегральной суммы при стремлении к нулю ранга разбиения, порождающего эту сумму (если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области V на элементарные части, ни от выбора точек на каждой из этих элементарных частей):

здесь n – это количество элементарных частей разбиения области V;
Pi (xi,yi,zi) – произвольно выбранная точка на каждой элементарной части,

— ранг разбиения;
– диаметр i-ой элементарной части.

Достаточное условие существования тройного интеграла

Если функция f (x,y,z) непрерывная в замкнутой области V, то существует.

Цилиндрические координаты точки в пространствеXOYZ— это ее полярные координаты в плоскости XOY и координатаz.

Связь между декартовыми и цилиндрическими координатами:

Границы изменения цилиндрических координат для всех точек пространства: или

Перевод тройного интеграла к цилиндрическим координатам и сведение его к повторному трехкратному интегралу осуществляется следующими действиями:

объем V, правильный в направлении оси OZ, проектируется в область и записывается системой неравенств:

;

далее область записывается неравенствами в полярной системе координат (Рис. 7) и составляется бесконечно малый элемент плоской области в полярных координатах:

Читайте также:  Как передать видео с яндекса

, ;

в подынтегральной функции и в пределах интегрирования по z делается переход к переменным и :

Если выполнить все указанные подстановки, то получится формула вычисления тройного интеграла в цилиндрических координатах:

(2)

Таким образом, бесконечно

Пример 2 (вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах):

Вычислить , если область V ограничена поверхностями

.

Строим область V и записываем её системой неравенств в цилиндрических

Теперь сводим тройной интеграл к трехкратному в соответствии с системой неравенств и вычисляем его: . 142.Тройной интеграл в сферических координатах. Сферические координаты точки М пространства XOYZ определяются следующим образом (Рис. 8):
r — расстояние точки M от начала координат (длина радиус-вектора точки); r называют сферическим радиусом точки; q — угол между радиус-вектором и положительным направлением оси OZ;

j — угол между положительным направлением оси OX и проекцией радиус-вектора на плоскость XOY, отсчитываемый против часовой стрелки (полярный угол).

Границы изменения сферических координат для всех точек пространства:

или ,

Связь сферических и декартовых координат (выводится геометрически):

Замена переменных в тройном интеграле осуществляется в общем случае по формуле, аналогичной формуле замены переменных в двойном интеграле. В частности, при переходе к сферическим координатам эта формула имеет вид:

,

I — это функциональный определитель Якоби третьего порядка:

, так как поэтому .

Таким образом, .

Бесконечно малый элемент объема в сферических координатах имеет вид: ;

формула перевода тройного интеграла к сферическим координатам имеет вид:

(3)

Далее тройной интеграл сводится к трехкратному в соответствии с неравенствами для области V в сферических координатах.

Эффективно переводить в сферические координаты тройной интеграл по областям, в границах которых есть сфера.

Пример 3 (вычисление тройного интеграла в сферических координатах):

Вычислить , где

Решение Область представляет собой верхнюю половину шара радиуса 2 с центром в начале координат. Запишем неравенствами область V в сферических координатах:

Переводим данный тройной интеграл в сферические координаты по формуле (3) и сводим его к трехкратному интегралу в соответствии с системой неравенств:

143.Моменты инерции тела V с плотностью r(x, y, z) относительно осей координат и относительно начала координат.

МОМЕНТОМ ИНЕРЦИИ I тела относительно точки, оси или плоскости называется сумма произведений массы точек тела mi, на квадраты их расстояний ri до точки, оси или плоскости:

Момент инерции тела относительно оси является мерой инерции тела во вращательном движении вокруг этой оси.

Момент инерции тела может быть также выражен через массу М тела и его радиус инерции r:

Определение тройного интеграла
Пусть задана область VÌXOYZ, ограниченная замкнутой поверхностью; в области V и на ее границе задана функция f (x,y,z).

Тройным интегралом от функции f(x, y, z) по области V называется конечный предел трехмерной интегральной суммы при стремлении к нулю ранга разбиения, порождающего эту сумму (если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области V на элементарные части, ни от выбора точек на каждой из этих элементарных частей):

Читайте также:  Lumia 535 прошивка после замены тачскрина

Тройной интеграл

здесь n – это количество элементарных частей разбиения области V;
Pi (xi,yi,zi) – произвольно выбранная точка на каждой элементарной части,

— ранг разбиения;
– диаметр i-ой элементарной части.

Достаточное условие существования тройного интеграла (Сформулируйте достаточное условие существования тройного интеграла)

Если функция f (x,y,z) непрерывная в замкнутой области V, то существует.

Механическая трактовка тройного интеграла (В чем состоит механическая трактовка тройного интеграла)

Если f (x,y,z) ³ 0 — это объемная плотность распределения вещества в области V, то — это масса всего вещества в трехмерной области V.

Основные свойства тройного интеграла (Сформулируйте основные свойства тройного интеграла)

Аналогичны свойствам определенного интеграла по отрезку и двойного интеграла по области D.

Свойство 1 (линейность тройного интеграла по подынтегральной функции)

,

где — постоянные множители по x, y, z.

Свойство 2 (аддитивность тройного интеграла по области интегрирования)

Если V = V1 È V2, то .

Свойство 3 (о значении тройного интеграла от функции, тождественно равной единице)

Если подынтегральная функция f(x,y,z) º 1 для , то тройной интеграл от неё по области V равен объему (мере) области интегрирования:

(здесь область V и её объём V обозначены одной буквой).

Свойство 4 (оценки значения тройного интеграла)

Если m и M — наименьшее и наибольшее значения функции f(x,y,z) в замкнутой области V, то

Если |f(x,y,z)|при "(x,y,zV, то

Свойство 5 (теорема о среднем значении подынтегральной функции)

При этом число называется средним значением

функции f(x,y,z) по области V.

Дата добавления: 2014-10-15 ; Просмотров: 9247 ; Нарушение авторских прав?

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Определение тройного интеграла. Теорема существования тройного интеграла
  1. Услуги проектирования
  2. Тройной интеграл
  3. Определение тройного интеграла. Теорема существования тройного интеграла

Пусть в пространстве $mathbf < extit < Oxyz >> $ задана ограниченная замкнутая область < объём >$mathbf < extit < V >> $, и пусть на области $mathbf < extit < V >> $ определена функция $mathbf < extit < f >> (mathbf < extit < x >> $, $mathbf < extit < y >> $, $mathbf < extit < z >> )$.

Разобьём область $mathbf < extit < V >> $ произвольным образом на $mathbf < extit < n >> $ подобластей $mathbf < extit < V >> _ < 1 >$, $mathbf < extit < V >> _ < 2 >$, $mathbf < extit < V >> _ < 3 >, < ldots >, mathbf < extit < V >> _ < n >$, < не имеющих общих внутренних точек). Символом $mathbf < extit < v >> (mathbf < extit < V >> _ < i >)$ будем обозначать объём области $mathbf < extit < V >> _ < i >$; символом $mathbf < extit < d >> $ обозначим наибольший из диаметров областей $mathbf < extit < V >> _ < i >$: $d=mathop < max >limits_ < i=1,2,ldots ,n >diam(V_i )$.

В каждой из подобластей $mathbf < extit < V >> _ < i >mathbf < extit < (i >> = 1,2, < ldots >,mathbf < extit < n >> )$ выберем произвольную точку $mathbf < extit < P >> _ < i >= (mathbf < extit < x >> _ < i >, mathbf < extit < y >> _ < i >, mathbf < extit < z >> _ < i >)$, вычислим в этой точке значение функции $mathbf < extit < f >> (mathbf < extit < P >> _ < i >) = mathbf < extit < f >> (mathbf < extit < x >> _ < i >$, $mathbf < extit < y >> _ < i >$, $mathbf < extit < z >> _ < i >)$, и составим интегральную сумму $sumlimits_ < i=1 >^n < f(P_i )cdot v(V_i ) >$.

Читайте также:  Программа на айфон старение лица

Если существует предел последовательности интегральных сумм при $d=mathop < max >limits_ < i=1,2,ldots ,n >diam(V_i ) o 0$, не зависящий ни от способа разбиения области $mathbf < extit < V >> $ на подобласти $mathbf < extit < V >> _ < i >$, ни от выбора точек $mathbf < extit < P >> _ < i >$, то функция $mathbf < extit < f >> (mathbf < extit < x >> , mathbf < extit < y >> , mathbf < extit < z >> )$ называется интегрируемой по области $mathbf < extit < V >> $, а значение этого предела называется тройным интегралом от функции $mathbf < extit < f >> (mathbf < extit < x >> , mathbf < extit < y >> , mathbf < extit < z >> )$по области $mathbf < extit < V >> $ и обозначается $iiintlimits_V < f(P)dv >$.

Если расписать значение $mathbf < extit < f >> (mathbf < extit < P >> )$ через координаты точки $mathbf < extit < P >> $, и представить $mathbf < extit < dv >> $ как $mathbf < extit < dv = dx dy dz >> $, получим другое обозначение тройного интеграла: $iiintlimits_V < f(x,y,z)dxdydz >$. Итак, кратко, $iiintlimits_V < f(x,y,z)dxdydz >=iiintlimits_V < f(P)dv >=mathop < lim >limits_ < egin < l>d o 0 \ (n o infty ) \ end > sumlimits_ < i=1 >^n < f(x_i ,y_i ,z_i )cdot v(V_i ) >$.

Теорема существования тройного интеграла

Если подынтегральная функция $mathbf < extit < f >> (mathbf < extit < x >> $, $mathbf < extit < y >> $, $mathbf < extit < z >> )$ непрерывна на области $mathbf < extit < V >> $, то она интегрируема по этой области.

Далее:

Функции k-значной логики. Элементарные функции. Лемма об аналоге правила де Моргана

Логические операции над высказываниями

Поверхностный интеграл второго рода и его свойства

Класс M. Теорема о замкнутости класса M

Критерий полноты <формулировка>. Лемма о нелинейной функции

Определение двойного интеграла

Поток жидкости через поверхность

Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования

Класс $S$. Теорема о замкнyтости класса $S$

Свойства тройного интеграла

Инвариантное определение дивергенции

Свойства потока векторного поля

Полином Жегалкина. Пример.

Формула Грина

Поверхностный интеграл первого рода и его свойства

Огравление $Rightarrow $

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector