Сопротивление генератора эквивалентного активному двухполюснику

Сопротивление генератора эквивалентного активному двухполюснику

Все методы, рассмотренные ранее, предполагали расчет токов одновременно во всех ветвях цепи. Однако в ряде случаев бывает необходимым контролировать ток в одной отдельно взятой ветви. В этом случае применяют для расчета метод эквивалентного генератора.

Пусть дана некоторая электрическая цепь, которую представим активным двухполюсником (рис.3.10). Необходимо рассчитать ток в ветви ab:

1) введем в ветвь ab два источника ЭДС. и одинаковые по величине и противоположно направленные:

;

Рис.3.10. Преобразование исходного двухполюсника
в сумму двух цепей

2) используя принцип наложения, данную цепь представим суммой двух цепей. В первой оставим все источники активного двухполюсника и источник ЭДС . Вторая цепь представляет собой пассивный двухполюсник и источник ЭДС .

На основании принципа наложения ток ветви ab:

;

; .

Поскольку – любые по величине, то подберем их значения такими, чтобы ток был равен нулю. Для этого выберем .

Напряжение на зажимах источника в режиме холостого хода численно равна его ЭДС. Тогда активный двухполюсник с источником может быть представлен в виде:

Рис.3.11. Схема замещения активного двухполюсника

В этой схеме эквивалентная ЭДС активного двухполюсника:

и, следовательно, ток

.

Таким образом, ток в ветви ab:

. 89(3.15)

Пусть дана цепь (рис.2.12), рассчитаем ток методом эквивалентного генератора.

Рис.3.12. Исходная цепь

1. Разомкнем ветвь с сопротивлением Z1 или примем Z1 = ¥ .

2. Зададим положительное направление и для произвольно выбранных положительных направлений токов, например, первого контура, запишем уравнение по второму закону Кирхгофа:

.

3. Токи и в преобразованной схеме (рис.3.13) рассчитываем любым известным методом, например, методом контурных токов:

Тогда ; .

Рис.3.13. Преобразованная цепь

4. Определим эквивалентное сопротивление пассивного двухполюсника. Для этого мысленно закоротим все источники ЭДС исходной цепи, оставляя для реальных источников их внутренние сопротивления.

Рис.3.14. Схема пассивного двухполюсника

В образовавшейся схеме пассивного двухполюсника невозможно определить эквивалентное сопротивление относительно зажимов a-b, так как нет последовательно-параллельного соединения приемников, поэтому необходимо выполнить преобразование какого-либо участка цепи из «треугольника» в «звезду» или выполнить обратное преобразование.

Заменим, например, треугольник сопротивлений Z2 – Z3 – Z5 в звезду Z23 – Z25 – Z35. При этом получится схема с последовательно-параллельным соединением приемников (рис.3.14.в).

Сопротивления этой схемы:

и эквивалентное сопротивление:

.

.

ТРЕХФАЗНЫЕ ЦЕПИ

В предыдущей главе рассматривалась работа электрических цепей, питающихся от однофазных синусоидальных источников тока или напряжения. Наряду с однофазными источниками существуют источники энергии, количество фаз у которых составляет два, три, четыре и т.д., и которые характеризуются тем, что ЭДС этих фаз имеют одинаковую частоту, но сдвинуты друг относительно друга на некоторую одинаковую фазу. Такие генераторы называются многофазными и электрические цепи с такими источниками называются многофазными.

Трехфазный генератор

Среди всего многообразия многофазных источников трехфазный получил наибольшее практическое применение. В связи с этим основные исследования многофазных цепей будем проводить на примере трехфазных цепей. И в связи с этим рассмотрим вопрос реализации такого трехфазного источника, которым является трех­фазный генератор.

Рис.4.1. Трехфазный генератор

В целях упрощения понимания принципа работы генератора обмотки представлены одним витком. В качестве ротора генератора выбран постоянный магнит. Каждая из обмоток имеет начало – клеммы А, В, С и конец – Х, Y, Z. Обмотки в пространстве сдвинуты на 120 ° друг относительно друга. Из чего следует, что максимумы ЭДС в них достигаются в разные моменты времени, отстоящие друг от друга на одну треть периода T = 2p / w, где w — угловая часта вращения ротора.

Последовательность, в которой ЭДС достигают максимума в соответствующих фазах, носит название порядка чередования фаз. Прямым порядком чередования фаз называют последовательность, при которой фаза B отстает от фазы А на 1/3Т, и фаза С отстает от фазы В на 1/3Т – т.е. А, В, С. На рис.4.2 изображен график мгновенных значений ЭДС для прямого порядка чередования фаз. Изменение направления вращения ротора на противоположное меняет эту последовательность чередования фаз и она станет уже А, С, В.

Рис.4.2. Графики мгновенных ЭДС фаз А, B, С

Поскольку ЭДС каждой фазы генератора синусоидальна, то им в соответствие можно на комплексной плоскости построить векторы фазных ЭДС (рис.4.3).

Читайте также:  Ноутбук hp probook 440 g5 обзор

Рис.4.3. Векторная диаграмма фазных ЭДС

Важным обстоятельством является то, что система векторов фазных ЭДС генератора на комплексной плоскости образует симметричную трехлучевую звезду, и сумма этих векторов в любой момент времени равна нулю.

При подключении к каждой из фаз генератора нагрузки по ней будет протекать ток. Таким образом, образуется трехфазная система.

Очень часто при анализе сложных электрических цепей интересуются электрическим состоянием лишь одной ветви, причем параметры элементов этой ветви могут изменяться. В этом случае нет необходимости производить многократно расчет всей цепи каким-либо из рассмотренных методов, а целесообразнее воспользоваться методом эквивалентного активного двухполюсника (МЭД).

Метод МЭД основан на том, что всю остальную часть цепи, кроме рассматриваемой ветви, независимо от количества активных и пассивных элементов можно заменить одним эквивалентным активным элементом (источником ЭДС или тока) и одним эквивалентным резистивным элементом.

Обоснованием данного метода является теорема об эквивалентном активном двухполюснике, которую можно сформулировать таким образом: любой многоэлементный активный двухполюсник может быть заменен эквивалентным двухэлементным двухполюсником с параметрами Еэк и Яж илии Сэк; режим работы ветви, присоединенной к двухполюснику, при этом не изменится.

Доказать эту теорему можно, используя свойство линейности электрической цепи. Пусть сложная линейная электрическая цепь постоянного тока имеет несколько активных и пассивных ветвей (рис. 1.13.1, а), в одной из которых, например в ветви с резистором 7?, необходимо определить ток, напряжение и мощность при различных значениях Я.

Рис. 1.13.1. Многоэлементный активный двухполюсник (я) и его двухэлементная схема замещения (б)

Напряжение пассивной ветви любой линейной цепи линейно зависит от тока этой ветви. Как известно, данное напряжение всегда меньше напряжения холостого хода на зажимах этой ветви. Поэтому уравнение для напряжения на резисторе К (см. рис. 1.13.1, я) может быть записано в виде

Уравнение для напряжения ветви, присоединенной к эквивалентному двухэлементному активному двухполюснику (рис. 1.13.1, б), имеет вид

Сравнивая уравнения (1.13.1) и (1.13.2), можно сделать вывод о том, что ЭДС эквивалентного активного двухполюсника Еэк равна напряжению холостого хода илв х между полюсами А и В исходного активного двухполюсника, а коэффициент пропорциональности к в уравнении (1.13.1) равен эквивалентному сопротивлению /?эк активного двухполюсника.

Таким образом, любой активный двухполюсник можно заменить эквивалентным двухэлементным двухполюсником с источником ЭДС Еж = 11х и резистивным элементом с сопротивлением Яж. При этом ток в ветви с сопротивлением Я можно определить по формуле

Нетрудно показать, что активный двухполюсник можно заменить также источником тока]ж с внутренней проводимостью Сэк.

В случае когда к активному двухполюснику подключена не пассивная, а активная ветвь с сопротивлением Я и источником ЭДС Е (рис. 1.13.2, а и б), ток в этой ветви следует определять по формуле

Если в этом случае электродвижущие силы источников ЭДС и токи источников тока активного двухполюсника установить равными нулю, то активная ветвь с сопротивлением Я и источником ЭДС Е окажется подключенной к пассивному двухполюснику.

При этом Еж = илв х = 0, а ток в ветви с резистором Я будет определяться по формуле

Рис. 1.13.2. Многоэлементный активный двухполюсник (а), подключенный к активной ветви, и его двухэлементная схема замещения (б)

Из рис. 1.13.2, б нетрудно видеть, что сопротивление /?эк равно эквивалентному сопротивлению 11АВ эк пассивного двухполюсника относительно полюсов А и 5, образованного из исходного многоэлементного активного двухполюсника.

Алгоритм нахождения тока по методу эквивалентного активного двухполюсника можно представить следующим образом:

  • 1) определить напряжение 11х между концами разомкнутой ветви;
  • 2) заменить активный двухполюсник пассивным (убрать все источники, оставив их внутренние сопротивления, при этом необходимо помнить, что внутреннее сопротивление идеального источника ЭДС равно нулю, идеального источника тока — бесконечности) и определить эквивалентное сопротивление /?эк пассивного двухполюсника;
  • 3) найти ток в ветви по формуле (1.13.3) или (1.13.4).
Читайте также:  Строка меню в internet explorer как включить

Пример 1.13.1. Мостовая цепь

Определить ток /5 в ветви с резистором Д3 (рис. 1.13.3, а), воспользовавшись методом эквивалентного активного двухполюсника, если Е = 6 В, Я <= = 1 кОм,

Рис. 1.13.3. К примеру 1.13.1

В соответствии с теоремой об эквивалентном активном двухполюснике воздействие всей цепи на рассматриваемую ветвь с резистором /?5 можно заменить воздействием эквивалентного активного двухполюсника (см. рис. 1.13.3, б), у которого Еэк = илв х; Яэк = Ялв.

Для определения напряжения IIлв х разомкнем ветвь АВ с резистором Я5 (см. рис. 1.13.3, б):

Сопротивление Яэк определяем по схеме рис. 1.13.3, в (внутреннее сопротивление источника ЭДС равно нулю):

Ток в диагональной ветви находим из схемы рис. 1.13.3, б:

Примечание: уравнение для эквивалентной ЭДС содержит коэффициент к, зависящий от сопротивлений резисторов,

и равный нулю при Я2Я4 = Я,Я5. При этом Еж = 0 и ток в диагональной ветви равен нулю. Это состояние мостовой цепи называется уравновешенным.

Упражнение 1.13.1*. Цепи с одним источником

Определить ЭДС эквивалентного источника, его внутреннее сопротивление и ток в ветви ЛВ в схемах рис. 1.13.4. Параметры элементов указаны в табл. 1.13.1.

В том случае, когда необходимо определить ток в какой-либо ветви без определения токов в остальных ветвях, применяется метод активного двухполюсника и эквивалентного генератора.

Пусть в схеме рис. 36 необходимо определить только ток I3. Третья ветвь с зажимами d и n выделяется, а вся остальная схема представляется в виде активного двухполюсника рис. 37.

Рис. 37. Схема активного двухполюсника

Активный двухполюсник может быть заменён эквивалентным генератором с ЭДС Еэг равной напряжению холостого хода Uххnd на зажимах разомкнутой выделенной ветви nd, а внутреннее сопротивление эквивалентного генератора Rвн равно входному сопротивлению пассивного двухполюсника Rвхnd относительно зажимов n и d выделенной ветви.

Тогда схема рис. 37 принимает следующий вид (рис. 38)

Рис. 38. Схема после замены активного двухполюсника эквивалентным генератором

Тогда ток I3 выделенной ветви определяется по формуле

I3= (144)

Следует отметить, что направление холостого хода берётся в направлении тока выделенной ветви в исходной схеме.

Так, на схеме рис. 38 ток I3 протекает от узла n к узлу d. В этом направлении и берётся разность потенциалов φn – φd разомкнутой выделенной ветви

Далее на практике поступают следующим образом: осуществляют режим холостого хода выделенной ветви, для чего в выделенную ветвь вводится разомкнутый ключ, либо вообще резистор, в данном случае резистор R3, отбрасывается. Получается новая схема, в которой будет другое токораспределение.

Изобразим схему в режиме холостого хода выделенной ветви nd (рис. 39)

Не обязательно вычислять все токи в схеме рис. 39. Достаточно рассчитать токи I1` и I6`.

По схеме рис. 39 и производится расчёт напряжения холостого хода Uххnd, т. е. ЭДС эквивалентного генератора.

Рис. 39. Схема в режиме холостого хода выделенной ветви nd

Обозначим на схеме рис. 39 путь, по которому замыкается ток от источника тока Iк, штриховой линией.

В схеме рис. 39 два независимых контура abd и abc. Выберем произвольно направление контурных токов, например, по часовой стрелке.

Составим систему из двух уравнений по методу контурных токов :

I11(R1 + R2 + R4) — I22R4 + IКЗR1 = E2;

Здесь (R1 + R2 + R4) – суммарное сопротивление первого контура;

(R4 + R5 + R6) – суммарное сопротивление второго контура. IКЗR1 и IКЗR6 взяты положительными, потому что контурные токи и тока от источника тока IКЗ на этих резисторах R1 и R6 совпадают.

В правой части Е2 – суммарная ЭДС первого контура. Во втором контуре ЭДС нет, поэтому в правой части ноль.

Взаимное сопротивление R4 взято отрицательным, потому что контурные токи I11 и I22, которые используем для расчёта токов I1` и I6`.

Направления токов I11 и Iкз противоположны направлению тока I1`, поэтому в выражении (146) они отрицательны.

Направления токов I22 и Iкз совпадают с направлением тока I6`, поэтому в выражении (147) они положительные.

Теперь можно определить напряжение холостого хода Uххnd:

Подсчёт начинаем с точки d. Далее движемся к точке а в сторону убывания потенциала. Поэтому первое слагаемое I1`R1 будет отрицательным. Далее движемся от точки а к точкес против тока I6`, т.е. в сторону повышения потенциала. Поэтому слагаемое I6`R6 будет положительным. На участке cn движемся против ЭДС Е3, т.е. происходит скачок потенциала на -Е3.

Читайте также:  Разгон процессора intel atom

Входное сопротивление Rвхnd можно определить по схеме пассивного двухполюсника. Для этого в схем рис. 39 идеальные источники ЭДС Е2 и Е3 закоротим, потому что внутреннее сопротивление идеальных источников ЭДС равно нулю, а идеального источника тока равно бесконечности. Если в схеме реальные источники ЭДС и тока, то на их месте в схеме пассивного двухполюсника должны оставаться их внутренние сопротивления.

По заданию источника ЭДС и тока идеальные, поэтому схема пассивного двухполюсника будет выглядеть (рис. 40). На этой схеме ет последовательных или параллельных резисторов. Схема сложная, поэтому необходимо произвести преобразование треугольника в звезду или звезды в треугольник.

Преобразуем треугольник резисторов R4, R5, R6 в эквивалентную звезду.

В схеме на рис. 40 обозначена эквивалентная звезда штрихованными линиями.

Рис. 40. Схема пассивного двухполюсника

Изобразим теперь преобразованную схему на рис. 41.

Рис. 41. Преобразованная схема

Теперь на схеме рис. 41 видно отчётливо, что резисторы R2 и R45 соединены последовательно. Так же последовательно соединены резисторы R1 и R46. Обе независимые ветви соединены параллельно. Если к этому сопротивлению двух параллельных ветвей включить резистор R56, то это и будет входное сопротивление Rвхnd:

Rвхnd= + R56 (149)

И далее рассчитываем ток I3 в выделенной ветви nd по формуле (144).

Так производится расчёт в случае, когда параметры схемы известны.

Когда параметры схемы неизвестны, то напряжение холостого хода определяется экспериментальным путём. На зажимах nи dвыделенной ветви включается вольтметр. Резистор R3 отбрасывается (рис. 42):

Рис. 42. Схема определения напряжения холостого хода

Вольтметр в схеме рис. 42определяет напряжение холостого хода Uххnd.

Если между зажимами nи dвключить амперметр, то будет осуществлён режим короткого замыкания ветви ndc(рис. 43).

Рис. 43. Схема определения тока короткого замыкания

Амперметр в схеме рис. 43 замерит ток короткого замыкания I выделенной ветви nd.

Если в схеме рис. 38 закоротить зажимы nи d, то получается схема рис. 44.

Рис. 44. Режим короткого замыкания выделенной ветви

Из схемы рис. 44 получаем:

Rвн =Rвхnd = (150)

Таким образом, показание вольтметра в опыте холостого хода делим на показание амперметра в опыте короткого замыкания и получаем Rвхnd, т.е. входное сопротивление пассивного двухполюсника относительно зажимов выделенной ветви. Оно же внутреннее сопротивление эквивалентного генератора.

Благодаря тому, что использованы режимы холостого хода и короткого замыкания данный метод имеет ещё несколько названий, а именно: метод холостого хода и короткого замыкания, метод эквивалентного генератора, метод активного двухполюсника.

В данном примере рассмотрен самый сложный случай, когда требуется определить ток в выделенной ветви с резистором, к которому подсоединяется источник тока.

Остальные случаи проще. Так, если в схеме рис. 35 требуется найти тока в выделенных ветвях dc, ba, ac, cb, то никаких затруднений не предвидится. Просто изображаете схемы в режиме холостого хода, отбрасывая резисторы R1, либо R4, либо R6, либо R5. И по этим схемам ищется напряжение холостого хода.

Чуть труднее случай, когда в выделенной ветви есть источник ЭДС. Если в схеме рис. 35 требуется определить ток I2, то неопытный студент отбрасывает не только резистор R2 но и источник ЭДС Е2 при определении напряжения холостого хода. То есть он пытается найти Uххdb. Расчёт будет неправильный, так как будет потеряна ЭДС Е2 при определении напряжения холостого хода.

Обязательно нужно ввести точку m между резисторами R2 источником ЭДС Е2 и определять напряжение холостого хода Uххdm. Тогда ЭДС Е2 не будет потеряна.

Рис. 45. Схема в режиме холостого хода выделенной ветви dm

I11(R1 + R3 + R6) — I22R6 + IКЗR3 = -E3;

Необходимые токи I1` и I4` будут равны:

Напряжение холостого хода Uххdm:

Как видим из (154) ЭДС Е2 не потеряна, она учитывается при расчёте Uххdm.

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector