Сколько существует различных шестизначных телефонных номеров

Сколько существует различных шестизначных телефонных номеров

Пусть мы имеем некое упорядоченное множество N состоящее из n различных элементов. Сочетанием из n элементов по k будет называться подмножество из k неповторяющихся элементов, выбранных из множества, состоящего из n элементов. Подмножества, отличающиеся только порядком следования элементов (но не составом), считаются одинаковыми, этим сочетания отличаются от размещений. Обычно сочетание обозначается как Сn k и рассчитывается по формуле:

Сn k = n! k!(nk)!

Задача 1.Восемь студентов обменялись рукопожатиями. Сколько было рукопожатий?

Решение. В рукопожатии участвует «подмножество», состоящее из двух студентов (m=2), тогда как всё множество» студентов составляет 8 человек (n=8). Так как в процессе рукопожатия порядок не важен, выбираем формулу для числа сочетаний:

Задача.Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг из пяти различных по цвету отрезков материи?

Решение. Порядок важен, так как перестановка материи внутри трехцветного флга обозначает разные страны. Поэтому выбираем формулу числа размещений без повторений, где множество отрезков материи n = 5, а подмножество цветов m=3:

Задача 2.Сколько словарей надо издать, чтобы можно было выполнять переводы с любого из шести языков на любой из них?

Решение. Множество включает 6 языков n=6. Поскольку перевод есть отношение между двумя языками, то m=2, причем порядок важен, так как, например, словари русско-английский и англо-русский имеют различное применение. Поэтому выбираем размещения без повторений:

Задача 3.Сколько имеется вариантов составления расписания на понедельник, если предметов у студентов 9, а в понедельник 4 пары занятий, и предметы не повторяются?

Решение. а) Для студентов порядок не важен, поэтому выбираем формулу числа сочетаний:

б) Для преподавателей порядок важен, поэтому выбираем формулу размещений без повторений:

Задача 4.Сколькими способами можно расставить на книжной полке девять книг, среди которых есть трехтомник А.С. Пушкина?

Так как три тома, входящие в трехтомник, должны стоять рядом, причем по возрастанию номера славе направо, то рассматриваем их как один элемент данного множества, в котором имеется еще 6 элементов. Поэтому выбираем перестановки без повторений во множестве, содержащем семь элементов:

Задача 5.Сколькими способами можно назначить в группе из 30 человек трех дежурных?

а) Если их роль в процессе дежурства одинакова, то порядок не важен, поэтому выбираем сочетания без повторений:

С 3 30 = 30! / 3!27! = 4060

б) Если порядок важен, т.е. во время дежурства их функциональные обязанности различны, то по формуле размещения без повторений имеем:

А 3 30 = 30! / 27! = 24360

Задача 6.Сколько существует шестизначных телефонных номеров, у которых: а) возможны любые цифры; б) все цифры различные?

а) 1. Так как в шестизначном наборе телефонного номера возможны любые цифры, то на каждом из шести мест может встретиться любая из 10-ти цифр от 0 до 9. Необходимо из всех возможных десяти цифр выбрать лишь те шесть, которые будут испльзованы для для шастизначных телефонных номеров. Поскольку в записи телефонных номеров порядок расположения цифр важен, по формуле размещений с повторениями имеем:

А 10 6 = 10 6 = 1000000

2. Как известно, не бывает шестизначных номеров, начинающихся с нуля, поэтому надо подсчитать их количество и вычесть его из общего числа комбинаций. Число номеров, первая цифра у которых 0, найдем по формуле размещений с повторениями, «зафиксировав» ноль т.е. на каждом из пяти остальных возможных мест может встретиться любая из десяти цифр от
0 до 9. Тогда число таких комбинаций:

А10 5 = 10 5 = 100000

3. Общее число шестизначных телефонных номеров, у которых могут быть любые, в том числе и повторяющиеся, цифры, равно разности:

А10 6 – А 10 5 = 10 6 – 10 5 = 1000000 – 100000 = 900000

б) 1. Пусть теперь в шестизначном наборе все цифры различные. Необходимо из всех возможных десяти цифр выбрать лишь те шесть, которые используются для шестизначных телефонных номеров, причем никакая цифра не повторяется. Тогда по формуле размещений без повторений имеем:

А 10 6 = 10! / (10 – 6)! = 5х6х7х8х9х10 = 151200

2. Поскольку шестизначных номеров, начинающихся с нуля, не бывает, надо посчитать их количество и вычесть его из общего числа комбинаций. Число номеров, первая цифра у которых 0, найдем по формуле размещений без повторений, «зафиксировав ноль», т.е. на каждом из пяти оставшихся возможных мест могут встретиться цифры от 0 до 9. Тогда число таких комбинаций найдем по формуле размещений без повторений. Имеем:

Читайте также:  Плюсы и минусы додж калибр

А 10 5 = 10! / (10-5)! = 6х7х8х9х10 = 30240

3. Общее число шестизначных телефонных номеров, у которых не может быть повторяющихся цифр, равно разности:

А10 6 – А 10 5 = 10 6 – 10 5 = 151200 – 30240 = 120960

Задача 7.Сколькими способами можно выделить делегацию в составе трех человек, выбирая их среди четырех супружеских пар, если:

а) в состав делегации входят любые трое из данных восьми человек;

б) делегация должна состоять из двух женщин и одного мужчины;

в делегацию не входят члены одной семьи?

а) Порядок не важен:

С 8 3 = 8! / 3! 5! = 56

б) Выберем двух женщин из имеющихся 4-х С4 2 способами и одного мужчину из 4-х С 4 1 способами. По правилу произведения (и мужчина, и две женщины) имеем С4 2 х С4 1 = 24.

в) Из четырех семей выбираем 3-х членов делегации четырьмя способами (т.к. С 4 3 = 4! / 3!1! = 4). Но в каждой семье имеется по два способа выбора члена делегации. По правилу произведения С4 3 х2х2х2 = 4х8 =32.

Задача 8.В колледже учится 2000 студентов. Можно ли утверждать, что хотя бы двое из них имеют одинаковые инициалы и имени, и фамилии?

В русском алфавите 33 буквы, из них ъ, ь, ы, й не могут быть использованы, поэтому n = 33-4 = 29. Каждая из 29 букв может быть инициалом и имени,и фамилии. По правилу произведения 29х29 = 841

Задание 1. Сколькими способами можно выбрать две книги по разным темам, если на полке находится 12 книг по математике, 14 книг по физике, 16 книг по информатике?

Решение. Если выбирать книгу по математике и книгу по физике, то существует 12 вариантов выбора книги по математике и 14 вариантов выбора книги по физике, поэтому существуетвозможностей. Если выбирать книгу по математике и книгу по информатике, то существует 12 вариантов выбора книги по математике и 16 вариантов выбора книги по информатике, поэтому существуетвозможностей. Если выбирать книгу по физике и книгу по информатике, то существует 14 вариантов выбора книги по физике и 16 вариантов выбора книги по информатике, поэтому существуетвозможностей. Следовательно, всего существуетспособа выбора двух книг по разным темам.

Задание 2. Сколькими способами 7 книг разных авторов можно расставить на полке в один ряд?

Решение. В данном случае комбинация состоит изразличных элементов, отличающихся только порядком их расположения. Значит, имеем дело с перестановкой.. Существует 5040 способов осуществить расстановку книг.

Задание 3.Сколько можно составить телефонных номеров из 6 цифр каждый, так чтобы все цифры были различны?

Решение. Это пример задачи на размещение без повторений. Размещаются здесь десять цифр по 6. Значит, ответ на выше поставленную задачу будет:.

Задание 4. В группе КН–10-1 обучается 24 студента. Сколькими способами можно составить график дежурства по общежитию, если группа дежурных состоит из трех студентов?

Решение. Число способов равно числу размещений из 24 элементов по 3, т.е. равно. По формуле находим:

Ответ: 12144 способа.

Задание 5. Сколько трехкнопочных комбинаций существует на кодовом замке (все три кнопки нажимаются одновременно), если на нем всего 10 цифр?

Решение.Так как кнопки нажимаются одновременно (порядок не важен), то выбор этих кнопок – сочетание. Отсюда находим:

.

Ответ: 120 вариантов.

Задание 6. Позывные радиостанции должны начинаться с буквы W. 1) Скольким радиостанциям можно присвоить различные позывные, если позывные состоят из трех букв, причем эти буквы могут повторяться? 2) Если позывные состоят из четырех букв, которые не повторяются?

Решение. В современном латинском алфавите 26 букв. На первом месте всегда должна стоять одна буква, следовательно, существует только один способ занять первое место.

1) На оставшиеся два места может претендовать любая из 26-ти букв, т.к. буквы в позывных могут повторяться. Используя принцип умножения, получаем произведение: .

Читайте также:  Красивые фамилии для мальчиков русские

2) На второе место можно поставить любую из 25 букв, т.к. в позывных буквы не должны повторяться. На третье место – 24 буквы, на четвертое место – 23 буквы. Используя принцип умножения, получаем произведение: .

Ответ: 1) 262; 2) 13800.

Задание 7. В автомашине 7 мест. Сколькими способами семь человек могут усесться в эту машину, если занять место водителя могут только трое из них?

Решение. Действие, которое должно быть выполнено особым способом, необходимо выполнять первым. Итак, на место водителя можно посадить только одного из трех человек (умеющего водить машину), т.е. существуют 3 способа занять первое место. Второе место может занять любой из 6 человек, оставшихся после того, как место водителя будет занято. И т.д. Используя принцип умножения, получаем произведение:.

Задание 8. Алфавит некоторого языка содержит 30 букв. Сколько существует шестибуквенных слов (цепочка букв от пробела до пробела), составленных из букв этого алфавита, если:

буквы в словах не повторяются?

буквы в словах могут повторяться?

Решение. Существует шесть мест, на которые нужно разместить 30 букв.

1. Буквы не должны повторяться. Используя принцип умножения, получаем произведение: . Такое произведение достаточно сложно использовать в дальнейшем, и информация задачи представлена в ней в скрытой форме. Нетрудно заметить, что это не что иное, как формула размещений.

2. Буквы повторяются. Используя принцип умножения, получаем: – формула для размещений с повторениями.

Ответ: 1) ; 2).

Задание 9.Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составляются всевозможные числа, каждое из которых содержит не менее трех цифр. Сколько таких чисел можно составить, если повторения цифр в числах запрещены?

Решение. Так как цифр в числе не менее трех, необходимо посчитать, сколько существует трехзначных, четырехзначных и пятизначных чисел, составленных из этих пяти цифр. Трехзначных чисел –, четырехзначных –, пятизначных –. Используем принцип сложения:.

Задание 10. Сколько существует различных автомобильных номеров, которые состоят из пяти цифр, а) если первая из них не равна нулю; б) если номер состоит из одной буквы латинского алфавита, за которой следуют четыре цифры, отличные от нуля?

Решение. а) Всего существует 10 цифр. На первом месте не может быть цифры 0, поэтому способов поставить цифру на первое место существует 9. На втором месте может стоять любая из 10-ти цифр (цифры могут повторяться), т.е. способов поставить цифру на второе место существует 10, и т.д. Используя принцип умножения, получаем:.

б) На первом месте может стоять любая из 26 букв. На остальных местах – любые из девяти цифр, причем они могут повторяться. Используя принцип умножения, получаем: .

Ответ: ,.

Задание 11. Сколькими способами можно расставить на полке семь книг, если (а) две определенные книги должны всегда стоять рядом, (б) эти две книги не должны стоять рядом?

Решение. (а) Книги, которые должны стоять рядом, считаем за одну книгу. Тогда нужно расставить 6 книг по шести местам. Применяя формулу перестановок, получаем:. Мы учли перестановки шести книг, не учитывая порядок внутри тех книг, которые мы посчитали за одну. А так как две книги по двум местам можно разместить только двумя способами (), то получаем окончательно следующее произведение:.

(б) Способов переставить 7 книг существует . Из них ‑способов поставить определенные книги вместе. Следовательно, способов поставить книги так, чтобы 2 заданные книги не стояли вместе существует:

Ответ: (а) 1440; (б)

Задание 12. Сколькими способами из восьми человек можно избрать комиссию, состоящую из пяти членов?

Решение. Для решения этой задачи необходимо использовать формулу для сочетания элементов, т.к. здесь не имеет значения порядок элементов в выборке. Запишем формулу для сочетаний и произведем вычисления:

.

Задание 13. Сколькими способами можно отобрать несколько фруктов из семи яблок, четырех лимонов и девяти апельсинов? (Мы считаем, что фрукты одного вида неразличимы.)

Решение. Т.к. фрукты одного вида неразличимы, то существует один способ взять одно яблоко, один способ взять 2 яблока, один способ взять три яблока и т.д., т.е. всего семь способов выбрать несколько яблок (несколько – это не менее одного). Необходимо также прибавить один способ не взять ни одного яблока. Следовательно, существует 8 способов взять яблоки. Аналогично существует 5 способов выбрать лимоны и 10 способов выбрать апельсины. Следуя принципу умножения, получим все способы отбора фруктов:. Но среди этих способов существует один способ, когда не выбирается ни один фрукт. Следовательно, решением данной задачи будет следующее выражение:.

Читайте также:  Популярная стримерша на твиче

Задание 14. Сколько четырехбуквенных слов можно образовать из букв словасапфир?2) Сколько среди них таких, которые не содержат буквыр? 3) Сколько таких, которые начинаются с буквыси оканчиваются буквойр?

Решение. 1. Из шести букв составляются четырехбуквенные слова, причем порядок букв важен для образования новых слов. Поэтому используется формула для размещений:.

2. Необходимо исключить букву риз рассмотрения. Количество слов, не содержащих эту букву:А.

3. На первое место поставить букву сможно только одним способом. На последнее место поставить буквурможно тоже только одним способом. Остаются 4 буквы, которые необходимо разместить по двум местам:А.

Ответ: 360, 120, 12.

Задание 15. Сколько различных перестановок можно образовать изо всех букв словаперестановка?Сколько из них начинается с буквып и оканчивается буквойа?

Решение. В словеперестановка12 букв, из них повторяются 2 буквыеи две буквыа. Число перестановок из 12 элементов вычисляется с помощью формулы. Но среди этих перестановок будут повторяющиеся, в которых буквыеилиаменяются местами. Чтобы не считать такие перестановки, используется формула для перестановок с повторениями:

Чтобы посчитать количество перестановок, начинающихся на букву пи оканчивающихся на буквуа, необходимо исключить эти элементы и места, на которых они стоят из рассмотрения. Остается 10 букв и десять мест, причем остается только одна повторяющаяся буквае. Применяем формулу для перестановок с повторениями:

Ответ: ;

Задание 16. Сколько членов было в клубе, если известно, что при нумерации членских билетов использованы все трехзначные номера, не содержащие ни одной восьмерки?

Решение. Имеем дело с 3-перестановками с повторениями из 9 элементов (0,1,2,3,4,5,6,7,9). Число трехзначных номеров, не содержащих восьмерки, равно.

Ответ: 729 членов в клубе.

Задание 17. Группа студентов проходила практику в Германии и Франции. Половина студентов проходила практику во Франции. В обеих странах учились 12 студентов, 39 студентов в Германии. Сколько студентов в группе, если все прошли практику?

Решение. Задача на использование формулы включений-исключений. Т.к. в нашем случае имеется 2 свойства, формула будет выглядеть так:

Интерпретация: – общее количество студентов;– количество студентов, проходящих практику во Франции;– количество студентов, проходящих практику в Германии;– количество студентов, проходящих практику в обеих странах;– количество студентов, не прошедших практику.

Составим уравнение: . Решив его, получаем общее количество студентов, равное 54.

Поставлю вопрос немного иначе, мне дано решение, но я сомневаюсь в его ответе.
Условие: Сколько существует различных:
шестизначных телефонных номеров, не содержащих цифры 0?

Ответ: Телефонный номер кодируется кортежем (с, , с: , с-, с4, с5, с6),
где с1 первая цифра номера. с6- шестая цифра номера,
с, , с2. с3, с4, с5, с6 €<1,2. 8>. Искомое число равно 8(6)степень) = 262 144.

Мне кажется что ответ должен быть 9(6)степень) — ведь от 1 до 9, 9 цифр, а не 8.

Уважаемая Марина Васильевна, у меня далее есть задание:

Сколько существует различных: шестизначных телефонных номеров не содержащих цифры 0 и все цифры которых различны?

Ответ: Телефонный номер кодируется кортежем (с, , с, , с3, с4, с5, с6), где с, — первая цифра номера. с6- шестая цифра номера. Кортеж (с, , с2, с3, с4, с5, с6) есть 6- перестановка множества <1. 9>. Поэтому искомое число равно 9(6)=9•8•7•6•5•4 = 60480. Мне кажется что вы решали по этому заданию, а это относиться к
(- перестановки (размещения без повторения) , перестановки) .

А мое задание относиться к (кортежи, выборки, размещения с повторениями)

Ссылка на основную публикацию
Самый лучший телефон по всем характеристикам
2018 год удивил пользователей широким выбором: здесь и Samsung Galaxy S9, и iPhone Xs, и более приемлемый Huawei Mate 20....
Регистр сведений соответствие объектов информационных баз
Логично ожидать, что при синхронизации данных, как начальной, так и основанной на регулярной основе, одинаковые данные в приложениях будут сопоставлены...
Регистрация gmail com без номера телефона
Google – передовой поисковый сервис, давно изменивший способ взаимодействия с интернетом. Именно здесь впервые ввели поиск по картинкам, предусмотрели голосовое...
Самый лучший смартфон xiaomi 2018
Собрали всё лучшее. Была идея выпустить гид по всему модельному ряду, но это обречённая затея, потому что у Xiaomi куча...
Adblock detector