Сколькими способами можно расставить 4 книги

Сколькими способами можно расставить 4 книги

1. Размещения с повторениями

Задача 1. Для запирания сейфов и автоматических камер хранения применяют секретные замки, которые открываются лишь тогда, когда набрано некоторое «тайное слово». Это слово набирают с помощью одного или нескольких дисков, на которых нанесены буквы (или цифры). Пусть на диск нанесены 12 букв, а секретное слово состоит из 5 букв. Сколько неудачных попыток может быть сделано человеком, не знающим секретного слова?

Решение. Общее число комбинации равно . Значит, неудачных попыток может быть 248831. Впрочем, обычно сейфы делают так, что после первой же неудачной попытки открыть их раздается сигнал тревоги.

Задача 2. Найти количество всех пятизначных чисел.

Решение. Введем пять множеств: ,. Согласно правилу прямого произведения получаем.

Задача 3. При игре в кости бросаются две кости и выпавшие на верхних гранях очки скла­дываются. Какова вероятность выбросить 12 очков?

Решение. Всего возможно различных исходов. Из них только один (6 + 6) дает двенадцать очков. Вероятность 1/36.

2. Размещения без повторений

Задача 1. Сколькими способами можно рассадить 4 учащихся на 25 местах?

Решение. Искомое число способов равно числу размещений из 25 по 4:

.

Задача 2. Учащемуся необходимо сдать 4 экзамена на протяжении 8 дней. Сколькими спосо­бами это можно сделать?

Решение. Искомое число способов равно числу 4-элементных последовательностей (дни сдачи экзаменов) множества из 8 элементов, то есть способов. Если известно, что по­следний экзамен будет сдаваться на восьмой день, то число способов равно.

Задача 3. В хоккейном турнире участвуют 17 команд. Разыгрываются золотые, серебряные и бронзовые медали. Сколькими способами могут быть распределены медали.

Решение. 17 команд претендуют на 3 места. Тогда тройку призеров можно выбрать способами .

3. Перестановки без повторений

Задача 1. Сколькими способами можно разме­стить на полке 4 книги?

Решение. Искомое число способов равно числу способов упорядочения множества, состоящего из 4 элементов, т. е. .

Задача 2. Сколькими способами можно упоря­дочить множество так, чтобы каждое четное число имело четный номер?

Решение. Четные числа можно расставить на местах с четными номерами (таких мест )спосо­бами; каждому способу размещения четных чисел на местах с четными номерами соответствуетспособов размещения нечетных чисел на местах с нечетными номерами. Поэтому общее число перестановок ука­занного типа по правилу умножения равно.

Задача 3. Сколько можно составить перестано­вок из элементов, в которых данные 2 элемента не стоят рядом?

Читайте также:  Ошибка 0xc0000185 windows 8 как устранить

Решение. Определим число перестановок, в ко­торых данные два элемента истоят рядом. Могут быть следующие случаи:стоит на первом месте,стоит на втором месте, . стоит на-м ме­сте, астоит правее; число таких случаев равно. Кроме того,иможно поменять местами, и, следовательно, существуетспособов разме­щенияирядом. Каждому из этих способов соот­ветствуетперестановок других элементов. Следовательно, число перестановок, в которыхистоят рядом, равно. Поэтому искомое число перестановок равно.

Задача 4. Сколькими способами можно распо­ложить на шахматной доске 8 ладей так, чтобы они не могли бить друг друга?

Решение. При указанном расположении ладей на каждой вертикали и каждой горизонтали стоит лишь одна ладья. Рассмотрим одно из таких располо­жений ладей. Пусть — номер вертикали, в которой стоит ладья из первой горизонтали,— номер верти­кали, в которой стоит ладья из второй горизонта­ли, . — номер вертикали, в которой стоит ладья из последней, восьмой, горизонтали. Тогдаесть некоторая перестановка чисел 1, . 8. Среди чи­селнет ни одной пары равных, иначе 2 ла­дьи попали бы в одну вертикаль. Следовательно, каж­дому расположению ладей соответствует определен­ная перестановка чисел 1, . 8. Наоборот, каждой перестановке чисел 1, . 8 соответствует такое рас­положение ладей, при котором они не бьют друг дру­га. Следовательно, число искомых расположений ла­дей равно.

Переставить местами друг с другом на полке 4 (четыре) книги можно 4! (1 х 2 х 3 х 4 = 24) способами.

Но ведь каждую книгу на полке можно положить или поставить. Значит число комбинаций увеличивается в 2^4 (=16) раз.

Плюс мы не рассмотрели вариант когда книги лежат в стопке друг на друге на той же полке. Это ещё 4! раз.

Итого 4! х (2^4) + 4! = 24 х 16 + 24 = 384 + 24 = 408 раз.

КОМБИНАТОРИКА

Комбинаторика – раздел математики, который изучает задачи выбора и расположения элементов из некоторого основного множества в соответствии с заданными правилами. Формулы и принципы комбинаторики используются в теории вероятностей для подсчета вероятности случайных событий и, соответственно, получения законов распределения случайных величин. Это, в свою очередь, позволяет исследовать закономерности массовых случайных явлений, что является весьма важным для правильного понимания статистических закономерностей, проявляющихся в природе и технике.

Читайте также:  Как подключить руль к мост вантед

Правила сложения и умножения в комбинаторике

Правило суммы. Если два действия А и В взаимно исключают друг друга, причем действие А можно выполнить m способами, а В – n способами, то выполнить одно любое из этих действий (либо А, либо В) можно n + m способами.

Пример 1.

В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить одного дежурного?

Дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку, т.е. дежурным может быть любой из 16 мальчиков, либо любая из 10 девочек.

По правилу суммы получаем, что одного дежурного можно назначить 16+10=26 способами.

Правило произведения. Пусть требуется выполнить последовательно k действий. Если первое действие можно выполнить n1 способами, второе действие n2 способами, третье – n3 способами и так до k-го действия, которое можно выполнить nk способами, то все k действий вместе могут быть выполнены:

Пример 2.

В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить двух дежурных?

Первым дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку. Т.к. в классе учится 16 мальчиков и 10 девочек, то назначить первого дежурного можно 16+10=26 способами.

После того, как мы выбрали первого дежурного, второго мы можем выбрать из оставшихся 25 человек, т.е. 25-ю способами.

По теореме умножения двое дежурных могут быть выбраны 26*25=650 способами.

Сочетания без повторений. Сочетания с повторениями

Классической задачей комбинаторики является задача о числе сочетаний без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать m из n различных предметов ?

Пример 3.

Необходимо выбрать в подарок 4 из 10 имеющихся различных книг. Сколькими способами можно это сделать?

Нам из 10 книг нужно выбрать 4, причем порядок выбора не имеет значения. Таким образом, нужно найти число сочетаний из 10 элементов по 4:

.

Рассмотрим задачу о числе сочетаний с повторениями: имеется по r одинаковых предметов каждого из n различных типов; сколькими способами можно выбрать m () из этих (n*r) предметов?

.

Пример 4.

В кондитерском магазине продавались 4 сорта пирожных: наполеоны, эклеры, песочные и слоеные. Сколькими способами можно купить 7 пирожных?

Т.к. среди 7 пирожных могут быть пирожные одного сорта, то число способов, которыми можно купить 7 пирожных, определяется числом сочетаний с повторениями из 7 по 4.

.

Размещения без повторений. Размещения с повторениями

Классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать и разместить по m различным местам m из n различных предметов?

Пример 5.

Читайте также:  Какая батарея лучше чугунная или биметаллические отзывы

В некоторой газете 12 страниц. Необходимо на страницах этой газеты поместить четыре фотографии. Сколькими способами можно это сделать, если ни одна страница газеты не должна содержать более одной фотографии?

В данной задаче мы не просто выбираем фотографии, а размещаем их на определенных страницах газеты, причем каждая страница газеты должна содержать не более одной фотографии. Таким образом, задача сводится к классической задаче об определении числа размещений без повторений из 12 элементов по 4 элемента:

Таким образом, 4 фотографии на 12 страницах можно расположить 11880 способами.

Также классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений с повторениями, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать и разместить по m различным местам m из n предметов, среди которых есть одинаковые?

Пример 6.

У мальчика остались от набора для настольной игры штампы с цифрами 1, 3 и 7. Он решил с помощью этих штампов нанести на все книги пятизначные номера– составить каталог. Сколько различных пятизначных номеров может составить мальчик?

Можно считать, что опыт состоит в 5-кратном выборе с возращением одной из 3 цифр (1, 3, 7). Таким образом, число пятизначных номеров определяется числом размещений с повторениями из 3 элементов по 5:

.

Перестановки без повторений. Перестановки с повторениями

Классической задачей комбинаторики является задача о числе перестановок без повторения, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно разместить n различных предметов на n различных местах?

Пример 7.

Сколько можно составить четырехбуквенных «слов» из букв слова«брак»?

Генеральной совокупностью являются 4 буквы слова «брак» (б, р, а, к). Число «слов» определяется перестановками этих 4 букв, т. е.

Для случая, когда среди выбираемых n элементов есть одинаковые (выборка с возвращением), задачу о числе перестановок с повторениями можно выразить вопросом: сколькими способами можно переставить n предметов, расположенных на n различных местах, если среди n предметов имеются k различных типов (k

Пример 8.

Сколько разных буквосочетаний можно сделать из букв слова «Миссисипи»?

Здесь 1 буква «м», 4 буквы «и», 3 буквы «c» и 1 буква «п», всего 9 букв. Следовательно, число перестановок с повторениями равно

ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ ПО РАЗДЕЛУ "КОМБИНАТОРИКА"

Ссылка на основную публикацию
Самый лучший телефон по всем характеристикам
2018 год удивил пользователей широким выбором: здесь и Samsung Galaxy S9, и iPhone Xs, и более приемлемый Huawei Mate 20....
Регистр сведений соответствие объектов информационных баз
Логично ожидать, что при синхронизации данных, как начальной, так и основанной на регулярной основе, одинаковые данные в приложениях будут сопоставлены...
Регистрация gmail com без номера телефона
Google – передовой поисковый сервис, давно изменивший способ взаимодействия с интернетом. Именно здесь впервые ввели поиск по картинкам, предусмотрели голосовое...
Самый лучший смартфон xiaomi 2018
Собрали всё лучшее. Была идея выпустить гид по всему модельному ряду, но это обречённая затея, потому что у Xiaomi куча...
Adblock detector