Ротор векторного произведения векторов

Ротор векторного произведения векторов

С помощью тензорной плотности Леви-Чивита можно антисимметричный тензор второго ранга поставить в соответствие с векторной плотностью, так что

Применяя уравнение (5.43) к векторному произведению и ротору, определенными соответственно соотношениями (5.37) и (5.38), получим:

Эти две векторные плотности и S, преобразуются аналогично обычным векторам, за исключением изменения знака при зеркальном отражении. Такие векторы в векторном исчислении называют «аксиальными» векторами с целью подчеркнуть, что они в некотором смысле связаны с «вращением».

Эти «аксиальные» векторы действительно связаны с вращением. Например, момент количества движения является векторным произведением радиуса-вектора на количество движения (импульс):

Не считая изменения знака при отражении, этот вектор преобразуется как обычный вектор. Предположим, что из всех только отлично от нуля и что имеет только компоненту Тогда момент количества движения имеет только одну компоненту Зеркальное отражение можно произвести тремя различными способами: каждую координату можно заменить на оставляя при этом остальные две координаты неизменными. остается неизменным при изменении знака и меняет знак в двух других случаях. Обычный вектор изменил бы знак только при замене на

Ротор векторного поля — вектор, проекция которого на каждое направление равна пределу отношения циркуляции векторного поля по контуру L плоской площадки ΔS, перпендикулярной к этому направлению, к величине этой площадки, когда размеры площадки стремятся к нулю, а сама площадка стягивается в точку:

.

Нормаль к площадке направлена так, чтобы при вычислении циркуляции обход по контуру L совершался против часовой стрелки.

В трёхмерной декартовой системе координат вычисляется следующим образом:

Для удобства запоминания можно условно представлять ротор как векторное произведение:

где i, j и k — единичные орты для осей x, y и z соответственно.

Векторное поле, ротор которого равен нулю в любой точке, называется потенциальным (безвихревым).

Физическая интерпретация

По теореме Коши-Гельмгольца распределение скоростей сплошной среды вблизи точки О задаётся уравнением

где — вектор углового вращения элемента среды в точке О, а — квадратичная форма от координат — потенциал деформации элемента среды.

Таким образом, движение сплошной среды вблизи точки О складывается из поступательного движения (вектор ), вращательного движения (вектор ) и потенциального движения — деформации (вектор ). Применяя к формуле Коши—Гельмгольца операцию ротора, получим, что в точке О справедливо равенство и, следовательно, можно заключить, что когда речь идет о векторном поле, являющемся полем скоростей некоторой среды, ротор этого векторного поля в заданной точке равен удвоенному вектору углового вращения элемента среды с центром в этой точке.

Например, если в качестве векторного поля взять поле скоростей ветра на Земле, то в северном полушарии для антициклона, вращающегося по часовой стрелке, ротор будет направлен вниз, а для циклона, вращающегося против часовой стрелки — вверх. В тех местах, где ветры дуют прямолинейно и с одинаковой скоростью, ротор будет равен нулю (у неоднородного прямолинейного течения ротор ненулевой).

Основные свойства

Следующие свойства могут быть получены из обычных правил дифференцирования.

  • Линейность:

для любых векторных полей F и G и для всех вещественных чисел a и b.

  • Если — скалярное поле, а F — векторное, тогда:

  • Дивергенция ротора равна нулю:

или

При этом верно и обратное: если поле F бездивергентно, оно есть поле вихря некоторого поля G:

  • Если поле F потенциально, его ротор равен нулю (поле F — безвихревое):

Верно и обратное: если поле безвихревое, то оно потенциально:

для некоторого скалярного поля

  • Теорема Стокса: циркуляция вектора по замкнутому контуру, являющемуся границей некоторой поверхности, равна потоку ротора этого вектора через эту поверхность:

Ротор в ортогональных криволинейных координатах

Примеры

Простое векторное поле

Рассмотрим векторное поле, линейно зависящее от координат x и y:

.

Очевидно, что поле закручено. Если мы поместим колесо с лопастями в любой области поля, мы увидим, что оно начнет вращаться по направлению часовой стрелки. Используя правило правой руки, можно ожидать ввинчивание поля в страницу. Для правой системы координат направление в страницу будет означать отрицательное направление по оси z.

Как и предположили, направление совпало с отрицательным направлением оси z. В данном случае ротор является константой, так как он независим от координаты. Количество вращения в приведенном выше векторном поле одно и то же в любой точке (x,y). График ротора F не слишком интересен:

Читайте также:  Объем тела вращения параболы

Более сложный пример

Теперь рассмотрим несколько более сложное векторное поле:

.

Мы можем не увидеть никакого вращения, но, посмотрев повнимательнее направо, мы видим большее поле в, например, точке x=4, чем в точке x=3. Если бы мы установили маленькое колесо с лопастями там, больший поток на правой стороне заставил бы колесо вращаться по часовой стрелке, что соответствует ввинчиванию в направлении —z. Если бы мы расположили колесо в левой части поля, больший поток на его левой стороне заставил бы колесо вращаться против часовой стрелке, что соответствует ввинчиванию в направлении +z. Проверим нашу догадку с помощью вычисления:

Действительно, ввинчивание происходит в направлении +z для отрицательных x и —z для положительных x, как и ожидалось. Так как этот ротор не одинаков в каждой точке, его график выглядит немного интереснее:

Можно заметить, что график этого ротора не зависит от y или z (как и должно быть) и направлен по —z для положительных x и в направлении +z для отрицательных x.

Три общих примера

Рассмотрим пример × [ v × F ]. Используя прямоугольную систему координат, можно показать, что

Если v и поменять местами:

что является фейнмановской записью с нижним индексом F, что значит, что градиент с индексом F относится только к F.

Другой пример × [ × F ]. Используя прямоугольную систему координат, можно показать, что:

что можно считать частным случаем первого примера с подстановкой v.

Поясняющие примеры

  • В смерче ветры вращаются вокруг центра, и векторное поле скоростей ветра имеет ненулевой ротор везде. (см. Вихревое движение).
  • В векторном поле, описывающем линейные скорости движения каждой точки вращающегося диска ротор был бы постоянным во всех частях диска.
  • Если бы скорости автомобилей на трассе описывались векторным полем, и разные полосы имели разные ограничения по скорости движения, ротор на границе между полосами был бы ненулевым.
  • Закон электромагнитной индукции Фарадея, одно из уравнений Максвелла, может быть выражен очень просто через понятие ротора. Он говорит, что ротор электрического поля равен скорости изменения магнитного поля, взятой с обратным знаком, а ротор напряжённости магнитного поля равен сумме плотностей тока обычного и тока смещения.

Примечания

  1. Математический словарь высшей школы. В. Т. Воднев, А. Ф. Наумович, Н. Ф. Наумович

См. также

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Ротор (вектор)" в других словарях:

РОТОР — (от лат. roto вращаю) (вихрь) одна из осн. операций векторногоанализа, сопоставляющая векторному полю а(r )др. векторное полеrot а (используются также обозначения curl а). Если точка r задана своими декартовыми координатами, а вектор а своими… … Физическая энциклопедия

Ротор (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Ротор. Ротор, или вихрь векторный дифференциальный оператор над векторным полем. Обозначается (в русскоязычной[1] литературе) или (в англоязычной литературе), а также как векторное умножение … Википедия

Ротор (матем.) — Ротор, или вихрь векторный дифференциальный оператор над векторным полем. Показывает, насколько и в каком направлении закручено поле в каждой точке. Ротор поля F обозначается символом rot F (в русскоязычной литературе) или curl F (в англоязычной… … Википедия

Ротор векторного поля — Ротор, или вихрь векторный дифференциальный оператор над векторным полем. Показывает, насколько и в каком направлении закручено поле в каждой точке. Ротор поля F обозначается символом rot F (в русскоязычной литературе) или curl F (в англоязычной… … Википедия

Ротор поля — Ротор, или вихрь векторный дифференциальный оператор над векторным полем. Показывает, насколько и в каком направлении закручено поле в каждой точке. Ротор поля F обозначается символом rot F (в русскоязычной литературе) или curl F (в англоязычной… … Википедия

ВЕКТОР — В физике и математике вектор это величина, которая характеризуется своим численным значением и направлением. В физике встречается немало важных величин, являющихся векторами, например сила, положение, скорость, ускорение, вращающий момент,… … Энциклопедия Кольера

Читайте также:  Наивысшая точка графика 8 букв

Ротор — Роторный экскаватор как экспонат в бывшем угольном карьере «стальном городе» Феррополис (Германия), превращенном в музей под открытым небом Ротор от лат. roto ) вращаться В математике: Ротор то же, что вихрь векторного поля, то… … Википедия

Ротор Дарье — У этого термина существуют и другие значения, см. Ротор. Ротор Дарье, турбина Дарье (Darrieus rotor) тип турбины низкого давления, ось вращения которой перпендикулярна потоку жидкой или газовой среды. Предложена в 1931 году французским… … Википедия

ротор — (лат. rotare вращать) 1) вращающаяся часть электрической машины (генератора или двигателя) внутри неподвижной части статора; 2) вращающаяся часть паровой турбины, компрессора, гидронасоса, гидромотора и т. д.; 3) несущий винт вертолета; 4) мат.… … Словарь иностранных слов русского языка

ротор — а, ч. 1) спец.Обертова частина машин, за допомогою якої енергія одного виду перетворюється в енергію іншого виду. 2) Гвинт вертольота. 3) мат. Вектор, який характеризує обертовий рух у даній точці векторного поля … Український тлумачний словник

Ро́тор, или вихрь — векторный дифференциальный оператор над векторным полем. Показывает, насколько и в каком направлении закручено поле в каждой точке. Ротор поля F обозначается символом rot F (в русскоязычной литературе) или curl F (в англоязычной литературе), а также $ mathbf <
abla> imes mathbf, $ где $ mathbf
abla $ — векторный дифференциальный оператор набла.

Математическое определение

Ротор векторного поля — вектор, проекция которого на каждое направление равна пределу отношения циркуляции векторного поля по контуру L плоской площадки ΔS, перпендикулярной к этому направлению, к величине этой площадки, когда размеры площадки стремятся к нулю, а сама площадка стягивается в точку:

Нормаль $ mathbf n $ к площадке направлена так, чтобы при вычислении циркуляции обход по контуру L совершался против часовой стрелки.

В трёхмерной декартовой системе координат $ mathbf
abla imes mathbf F $ вычисляется следующим образом:

Для удобства запоминания можно условно представлять ротор как векторное произведение:

или как определитель следующей матрицы:

где i, j и k — единичные орты для осей x, y и z соответственно.

Векторное поле, ротор которого равен нулю в любой точке, называется потенциальным (безвихревым).

Физическая интерпретация

По теореме Коши-Гельмгольца распределение скоростей сплошной среды вблизи точки О задаётся уравнением

$ mathbf(mathbf) = mathbf_ + mathbf <omega> imes mathbf +
ablavarphi + o(mathbf
), $

где $ mathbf <omega>$ — вектор углового вращения элемента среды в точке О, а $ varphi $ — квадратичная форма от координат — потенциал деформации элемента среды.

Таким образом, движение сплошной среды вблизи точки О складывается из поступательного движения (вектор $ mathbf_ $ ), вращательного движения (вектор $ mathbf <omega> imes mathbf $ ) и потенциального движения — деформации (вектор $
ablavarphi $ ). Применяя к формуле Коши—Гельмгольца операцию ротора, получим, что в точке О справедливо равенство $ operatorname

mathbf = 2mathbf<omega>, $ и, следовательно, можно заключить, что когда речь идет о векторном поле, являющемся полем скоростей некоторой среды, ротор этого векторного поля в заданной точке равен удвоенному вектору углового вращения элемента среды с центром в этой точке.

Например, если в качестве векторного поля взять поле скоростей ветра на Земле, то для циклона, вращающегося по часовой стрелке, ротор будет направлен вниз, а для циклона, вращающегося против часовой стрелки — вверх. В тех местах, где ветры дуют прямолинейно и с одинаковой скоростью, ротор будет равен нулю (у неоднородного прямолинейного течения ротор ненулевой).

Основные свойства

Следующие свойства могут быть получены из обычных правил дифференцирования.

  • Линейность:

$ operatorname;( amathbf + bmathbf ) = a;operatorname

для любых векторных полей F и G и для всех действительных чисел a и b.

  • Если $ varphi $ — скалярное поле, а F — векторное, тогда:

$ operatorname

varphi mathbf = operatorname

imes mathbf + varphi ;operatorname

$
abla imes(varphi mathbf) = (
ablavarphi) imes mathbf
+ varphi ;(
abla imesmathbf
). $

  • Дивергенция ротора равна нулю:

$ operatorname

mathbf = 0 $ или $
abla cdot (
abla imes mathbf
) = 0 . $

При этом верно и обратное: если поле F бездивергентно, оно есть поле вихря некоторого поля G:

mathbf = 0 Rightarrow mathbf = operatorname

mathbf. $

  • Если поле F потенциально, его ротор равен нулю (поле F — безвихревое):

$ mathbf = operatorname

varphi Rightarrow operatorname

Читайте также:  Как настроить прямой эфир в инстаграм

Верно и обратное: если поле безвихревое, то оно потенциально:

mathbf = 0 Rightarrow mathbf = operatorname

для некоторого скалярного поля $ varphi . $

  • Теорема Стокса: циркуляция вектора по замкнутому контуру, являющемуся границей некоторой поверхности, равна потоку ротора этого вектора через эту поверхность:

$ ointlimits_<partial S>mathbf cdot,mathbf

= intlimits_S (operatorname

Ротор в ортогональных криволинейных координатах

Примеры

Простое векторное поле

Рассмотрим векторное поле, линейно зависящее от координат x и y:

Очевидно, что поле закручено. Если мы поместим колесо с лопастями в любой области поля, мы увидим, что оно начнет вращаться по направлению часовой стрелки. Используя правило правой руки, можно ожидать ввинчивание поля в страницу. Для правой системы координат направление в страницу будет означать отрицательное направление по оси z.

Как и предположили, направление совпало с отрицательным направлением оси z. В данном случае ротор является константой, так как он независим от координаты. Количество вращения в приведенном выше векторном поле одно и то же в любой точке (x,y). График ротора F не слишком интересен:

Более сложный пример

Теперь рассмотрим несколько более сложное векторное поле:

Мы можем не увидеть никакого вращения, но, посмотрев повнимательнее направо, мы видим большее поле в, например, точке x=4, чем в точке x=3. Если бы мы установили маленькое колесо с лопастями там, больший поток на правой стороне заставил бы колесо вращаться по часовой стрелке, что соответствует ввинчиванию в направлении —z. Если бы мы расположили колесо в левой части поля, больший поток на его левой стороне заставил бы колесо вращаться против часовой стрелке, что соответствует ввинчиванию в направлении +z. Проверим нашу догадку с помощью вычисления:

Действительно, ввинчивание происходит в направлении +z для отрицательных x и —z для положительных x, как и ожидалось. Так как этот ротор не одинаков в каждой точке, его график выглядит немного интереснее:

Можно заметить, что график этого ротора не зависит от y или z (как и должно быть) и направлен по —z для положительных x и в направлении +z для отрицательных x.

Три общих примера

Рассмотрим пример × [ v × F ]. Используя прямоугольную систему координат, можно показать, что

$ mathbf <
abla imes>left( mathbf
ight) = left[ left( mathbf <
abla cdot F >
ight) + mathbf
ight] mathbf
— left[ left( mathbf <
abla cdot v >
ight) + mathbf

ight] mathbf . $

Если v и поменять местами:

$ mathbf left( mathbf <
abla imes F>
ight) =
abla_F left( mathbf

ight) — left( mathbf

ight) mathbf < F> , $

что является фейнмановской записью с нижним индексом F, что значит, что градиент с индексом F относится только к F.

Другой пример × [ × F ]. Используя прямоугольную систему координат, можно показать, что:

$
abla imes left( mathbf <
abla imes F>
ight) = mathbf <
abla>(mathbf<
abla cdot F>) —
abla^2 mathbf , $

что можно считать частным случаем первого примера с подстановкой v.

Поясняющие примеры

  • В смерче ветры вращаются вокруг центра, и векторное поле скоростей ветра имело бы ненулевой ротор в центре и, возможно, везде. (см. Вихревое движение).
  • В векторном поле, описывающем линейные скорости движения каждой точки вращающегося диска ротор был бы постоянным во всех частях диска.
  • Если бы скорости автомобилей на трассе описывались векторным полем, и разные полосы имели разные ограничения по скорости движения, ротор на границе между полосами был бы ненулевым.
  • Закон электромагнитной индукции Фарадея, одно из уравнений Максвелла, может быть выражен очень просто через понятие ротора. Он говорит, что ротор электрического поля равен скорости изменения магнитного поля, взятой с обратным знаком, а ротор напряжённости магнитного поля равен сумме плотностей тока обычного и тока смещения.

Примечания

  1. ↑ Математический словарь высшей школы. В.Т.Воднев, А.Ф.Наумович, Н.Ф.Наумович

См. также

Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Ротор (математика). Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Эта статья так же, как и статья, размещённая в Википедии, доступна на условиях CC-BY-SA .

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector