При каком значении параметра n вектора ортогональны

При каком значении параметра n вектора ортогональны

Определение 3.5. Два вектора в евклидовом пространстве называют ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

Ортогональность векторов х и у будем обозначать так: . Отметим, что, согласно свойству 3.3 скалярного умножения, нулевой вектор ортогонален любому другому.

Евклидово пространство — это, согласно определению 3.1 частный случай линейного пространства, и поэтому можно говорить о его линейных подпространствах в смысле определений 2.1. Каждое из таких линейных подпространств является евклидовым пространством относительно скалярного умножения, заданного в объемлющем евклидовом пространстве.

Говорят, что вектор x в евклидовом пространстве ортогонален подпространству , и обозначают если он ортогонален каждому вектору этого подпространства.

Если , то условие равносильно тому, что вектор х ортогонален каждому вектору . Действительно, если х ортогонален то, согласно определению, он ортогонален и каждому вектору . Докажем противоположное утверждение. Пусть , и . Тогда вектор у является линейной комбинацией векторов .

и поэтому, согласно свойству 3.4,

В частности, если векторы x и а ортогональны, то для любого векторыx и тоже ортогональны:

В пространстве ненулевым ортогональным векторам x и y можно сопоставить катеты прямоугольного треугольника, причем так, что их сумме, построенной по правилу треугольника, будет соответствовать гипотенуза этого прямоугольного треугольника (рис. 3.3).

По аналогии с мы назовем в евклидовом пространстве сумму x+y ортогональных ректоров х и у гипотенузой треугольника, построенного на х и у. Тогда на произвольное евклидово пространство распространяется известная теорема Пифагора.

Теорема 3.3. Если векторы х и у из евклидова пространства ортогональны, то

Здесь под нормой мы, как обычно, понимаем евклидову норму. Выразим левую часть этого равенства через скалярное произведение и воспользуемся условием ортогональности

Определение 3.6. Систему векторов евклидова пространства называют ортогональной, если любые два вектора из этой системы ортогональны.

Следующее свойство ортогональной системы является самым важным.

Теорема 3.4. Любая ортогональная система ненулевых векторов линейно независима.

Рассмотрим произвольную ортогональную систему ненулевых векторов . Предположим, что для некоторых действительных коэффициентов выполняется равенство

(3.5)

Умножим это равенство скалярно на какой-либо вектор

В силу свойства 3.3 скалярного произведения правая часть полученного равенства равна нулю, и мы, преобразуя левую часть в соответствии со свойством 3.4, получаем

Так как система векторов ортогональна, то все слагаемые слева, кроме одного, равны нулю, т.е.

(3.6)

Читайте также:  Как в экселе отнять процент от числа

Так как вектор ненулевой, то (аксиома г) скалярного умножения). Поэтому из (3.6) следует, что . Индексi можно было выбирать произвольно, так что на самом деле все коэффициенты являются нулевыми. Мы доказали, что равенство (3.5) возможно лишь при нулевых коэффициентах, а это, согласно определению 1.2, означает, что система векторов линейно независима.

Пример 3.10. В евклидовом пространстве система функций, является ортогональной, поскольку

,

При .

Ортогона́льность (от греч. ὀρθογώνιος «прямоугольный» ← ὀρθός «прямой; правильный» + γωνία «угол») — понятие, являющееся обобщением перпендикулярности для линейных пространств с введённым скалярным произведением.

Если скалярное произведение двух элементов пространства равно нулю, то они называются ортогональными друг другу.

Важной особенностью понятия является его привязка к конкретному используемому скалярному произведению: при смене произведения ортогональные элементы могут стать неортогональными, и наоборот.

Термин используется в других сложных терминах.

В математике

  • Ортогональная группа — множество ортогональных преобразований.
  • Ортогональная и ортонормированная системы — множество векторов с нулевым скалярным произведением любой пары; в ортонормированной — вектора единичные.
  • Ортогональная матрица — матрица, столбцы которой образуют ортогональный базис.
  • Ортогональная проекция — изображение трёхмерной фигуры на плоскости.
  • Ортогональная сеть ― сеть, у которой касательные к линиям различных семейств ортогональны.
  • Ортогональное преобразование — группалинейных преобразований.
  • Ортогональные координаты — в которых метрический тензор имеет диагональный вид.
  • Ортогональные многочлены — вид последовательностимногочленов.
  • Ортогональный базис — базис, составленный из попарно ортогональных векторов.
  • Ортогональные функции.

В комбинаторной химии

  • Свойство защитных групп или линкеров, допускающее их удаление, модификацию или снятие без воздействия на другие группы.

В системном моделировании

  • Свойство непересекаемости, неперекрываемости содержимого элементов, образующих целостную систему.

Есть несколько операций умножения векторов. Рассмотрим одну из них, результатом которой является действительное число, т. е. скалярная величина.

Определение 2.3. Скалярным произведением двух векторов а и b называют число, равное |a| |b| cosφ — произведению длин |а| и |b| этих векторов на косинус угла φ между ними.

Если хотя бы один из двух векторов является нулевым, то их скалярное произведение будет равно нулю независимо от того, какое значение выбрано в качестве угла между векторами.

Скалярное произведение векторов а и b далее будем обозначать ab, хотя в литературе встречается и обозначение (a, b).

Читайте также:  Тест дюз что это такое

Используя теорему 1.1, можно выразить скалярное произведение двух векторов через ортогональную проекцию на направление. Если вектор а ненулевой, то скалярное произведение ab векторов а и b получается перемножением длины вектора а и ортогональной проекции вектора b на направление вектора а: ab = |а| прa b. Аналогично при b ≠ 0 имеем равенство ab = |b| прbа.

Если угол между двумя ненулевыми векторами прямой (т.е. равен 90°), то такие векторы называют ортогональными.

Нулевой вектор считают ортогональным любому другому вектору.

Теорема 2.7. Для того чтобы два вектора были ортогональны, необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение равнялось нулю.

◄ Как следует из определения 2.3, скалярное произведение ненулевых векторов а и b равно |а| |b| cosφ. Поэтому его знак определяется углом p между векторами а и b:

— угол φ острый: ab > 0;

— угол φ тупой: ab 2 .

4°. Свойство скалярного квадрата: а 2 ≥ 0, причем а 2 = 0 тогда и только тогда, когда а = 0.

◄ Действительно, а 2 = аа = |а||а| cos0 = |а| 2 . Поскольку квадрат длины вектора — неотрицательное число, то неравенство а 2 ≥ 0 выполнено всегда. Равенство а 2 = 0 эквивалентно соотношению |а| = 0, т.е. тому, что а — нулевой вектор. ►

Замечание 2.2. Свойства 2° и 3° часто объединяют в свойство линейности скалярного произведения относительно первого сомножителя. Благодаря коммутативности скалярного произведения (свойству 1°) скалярное произведение линейно и по второму сомножителю. Действительно, а(λb) = (λb)а = λ(bа) = λ(ab), a(b + с) = (b + с)а = bа + са = ab + ас. #

Свойства скалярного произведения часто используют при решении задач.

Пример 2.2. Найдем длину вектора a = 3с — 2d при условии, что |с| = 5, |d| = 4, а угол φ между векторами с и d равен 60°.

Поскольку |а| = √а 2 , то, вычисляя скалярный квадрат вектора а, находим, что

а 2 = (3с — 2d)(3c — 2d) = 9с 2 — 12cd + 4d 2 = 9 |с| 2 — 12 |с| |d| cosφ + 4 |d| 2 = 9 ⋅ 25 — 12 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 0,5 + 4 ⋅ 16 = 225 — 120 + 64 = 169.

Следовательно, |a| = √а 2 = 13.

Пример 2.3. В треугольнике ABC угол при вершине A равен 120°, а длина стороны AC в три раза больше расстояния между вершинами A и B. Найдем острый угол φ между стороной BC и медианой AM треугольника.

Читайте также:  Штрих коды в 1с бухгалтерия

Угол φ между стороной BC и медианой AM (рис. 2.6) равен углу между векторами BC и AM . Согласно определению 2.3 скалярного произведения, косинус угла выражается через скалярное произведение этих векторов и их длины с помощью формулы

cosφ = ( AM ⋅ BC )/ (| AM | ⋅ | BC |)

Пусть |AB| = s. Тогда |AC| = 3s, и поскольку BC = AC — AB , то

AM = AB + BM = AB + 0,5 BC = AB + ( AC — AB ) = 0,5 ( AC + AB )

AM ⋅ BC ) = 0,5 ( AC + AB )( AC — AB ) = 0,5 (| AC | 2 + | AB | 2 ) = 0,5 (9s 2 — s 2 ) = 4s 2

Вычислив длины векторов AM и BC :

Следовательно, острый угол между стороной BC и медианой AM равен φ = arccos(8/√91). #

Пусть векторы а и b из V3 заданы своими координатами в ортонормированном базисе i, j, k: а = a; ya; za>, b = b; yb; zb>. Это означает, что имеются разложения а = xai + yaj + zak, b = xbi + ybj + zbk. Используя их и свойства 1°-4° скалярного произведения, вычислим

Окончательный ответ получен с учетом того, что ортонормированность базиса i, j, k означает выполнение равенств ij = ik = jk = 0, i 2 = j 2 = k 2 = 1. Таким образом,

т. е. скалярное произведение векторов в ортонормированном базисе равно сумме попарных произведений одноименных координат.

Из теоремы 2.7 и формулы (2.14) получаем следующий критерий ортогональности векторов а и b:

Вспомним, что, согласно определению 2.3 скалярного произведения, ab = |a||b| cosφ, где φ = — угол между векторами a и b. Зная, как выражается скалярное произведение и длины векторов через их координаты в ортонормированном базисе, можно вычислить и косинус угла между ненулевыми векторами. Действительно, исходя из формулы

В случае, когда a, b ∈ V2 и известны координаты этих векторов в ортонормированном базисе i, j: a = xai + yaj, b = xbi + ybj, справедливы формулы, аналогичные (2.14)-(2.16):

для вычисления скалярного произведения

для критерия ортогональности

для косинуса угла между ненулевыми векторами а и b

Пример 2.4. Найдем значения параметра t, при которых векторы a = и b = = , заданные своими координатами в ортонормированном базисе, ортогональны. Используя критерий (2.15) ортогональности векторов, получаем уравнение

t(t + 1) + 2(1 — t) — 14 = 0

относительно параметра t. Решая это квадратное уравнение, находим, что лишь при t = -3 и t = 4 данные векторы ортогональны.

Ссылка на основную публикацию
Почему присоски не держатся на кафеле
В продаже есть множество декоративных и функциональных присосок для кафельной плитки. Они выглядят интересно, стоят недорого и значительно упрощают организацию...
Почему mafia 2 не запускается
Многие игроки, устанавливая игру сталкиваются с разного рода проблемами. Их может быть огромное количество, в этой статье я хотел бы...
Почему realtek hd audio drivers не работает
Доброго времени суток! Realtek HD — это, наверное, один из самых популярных аудио-драйверов, позволяющий тонко настраивать уровень и качество звука...
Почему приставка билайн не реагирует на пульт
Крупнейший телекоммуникационный провайдер Beeline использует качественное оборудование для подключения абонентов, при этом, как и в случае с любым аппаратным обеспечением,...
Adblock detector