ПП 7.3. Преобразования координат
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ФОРМУЛЫ
Параллельный перенос
Перенесём начало координат из точки О в точку О1 параллельным переносом осей. Пусть в системе координат xoy точка М имеет координаты x и y. Система координат x¢O1y¢ получена из системы координат xOy параллельным переносом осей, при котором начало координат О1 имеет координаты x и y в системе координат xOy. Точка М в системе координат x¢O1y¢ имеет координаты x¢ и y¢. Связь между координатами точки M(x,y) и точки M(x¢,y¢) в старой и новой системах координат задается формулами:
(1)
(2)
Уравнения кривых второго порядка, когда их центры симметрии находятся в точке с координатами O1(x,y), получаются с помощью преобразования координат при параллельном переносе осей (2).
— уравнение окружности с центром в точке O1(x,y) и радиусом R.
Аналогично получаются уравнения других кривых второго порядка:
— уравнения эллипса и гиперболы с центром симметрии в точке O1(x,y);
— уравнение параболы с вершиной в точке O1(x,y).
При этом, например, уравнения директрис эллипса и гиперболы: 
, а параболы: 
. Аналогично преобразуются и уравнения асимптот гиперболы: 
.
Поворот координатных осей
Выведем формулу преобразования координат при повороте координатных осей.
Повернём оси координат на угол a относительно исходной системы координат. Координаты точки М в системе координат x¢Oy¢ равны x¢ и y¢. Найдём её координаты в системе координат xOy. В треугольнике CMD 
, OD = x¢, MD = y¢.
x = OA = OB – AB = OB — CD, y = MA = AC + CM = DB + CM.
(3)
Эти формулы выражают старые координаты (x,y) произвольной точки М через новые координаты (x¢,y¢) этой же точки при повороте осей на угол a.
Формулы, выражающие новые координаты (x¢,y¢) точки М через её старые координаты (x,y), получим из следующих соображений: если новая система получена поворотом старой на угол a, то старая система получается поворотом новой на угол (-a), поэтому в равенствах (3) можно поменять местами старые и новые координаты, заменяя одновременно a на (-a).
Выполнив это преобразование, получим
При этом, например, уравнения директрис эллипса (гиперболы) и параболы принимают вид:
Изменение начала координат и поворот осей
Если оси декартовой прямоугольной системы переносятся параллельно на величины x по оси ox и на y по оси oy и, кроме того, поворачиваются на угол a, то этому изменению системы соответствуют формулы преобразования координат, выражающие старые координаты через новые:
(4)
и новые координаты через старые:
(5)
Поворот координатных осей
Выведем формулу преобразования координат при повороте координатных осей.
  |
Повернём оси координат на угол a относительно исходной системы координат. Координаты точки М в системе координат x¢Oy¢ равны x¢ и y¢. Найдём её координаты в системе коорднат xOy. В треугольнике CMD 
, OD=x¢, MD=y¢.
Следовательно, x=OA=OB-AB=OB-CD, y=MA=AC+CM=DB+CM.
то 
(3)
Эти формулы выражают старые координаты (x,y) произвольной точки М через новые координаты (x¢,y¢) этой же точки при повороте осей на угол a.
Формулы, выражающие новые координаты (x¢,y¢) точки М через её старые координаты (x,y), получим из следующих соображений: если новая система получена поворотом старой на угол a, то старая система получается поворотом новой на угол (-a), поэтому в равенствах (3) можно поменять местами старые и новые координаты, заменяя одновременно a на (-a).
Выполнив это преобразование, получим
Если оси декартовой прямоугольной системы переносятся параллельно на величины x по оси ox и на y по оси oy и, кроме того, поворачиваются на угол a, то этому изменению системы соответствуют формулы преобразования координат, выражающие старые координаты через новые
(4)
и новые координаты через старые:
(5)
Приведение общего уравнения кривой второго порядка
к каноническому виду
Пусть кривая второго порядка задана в общем виде:
.
Всякая линия второго порядка есть либо эллипс, либо парабола, либо распадается на пару прямых (пересекающихся, параллельных или совпадающих).
Приведение этого уравнения к каноническому виду заключается в нахождении системы координат, в которой кривая имеет канонический вид, геометрически это может быть достигнуто поворотом координатных осей на угол, совмещающий оси симметрии кривой с координатными осями и переносом начала координат в центр кривой (x,y).
1) Члены, содержащие переменные в первой степени, исчезают после выделения в общем уравнении полных квадратов, тем самым алгебраически позволяют найти центр кривой после применения формул 
Центр кривой, если он существует, находится из системы
(6)
– условие центральности.
Кривые второго порядка, имеющие единственный центр, называются центральными.
После переноса начала координат в центр (x,y) уравнение кривой примет вид
,
где 
.
2) Члены, содержащие произведение текущих координат исчезают после
подвергнем уравнение (6) преобразованию поворота осей координат на угол 
.
где 
— новые координаты.
Выпишем из преобразованного уравнения, слагаемые второго порядка:
Из этих слагаемых нас интересует слагаемое, содержащее произведение 
, коэффициент перед которым равен
Угол поворота находится из условия В1=0: 
.
Откуда 
(7)
Каноническое уравнение кривой принимает вид:
,
где 
Сделаем некоторые замечания о виде линий второго порядка.
При переходе от одной системы прямоугольных координат к другой мы заменяем уравнение
линии второго порядка другим уравнением
.
При этом выражения 
и 
остаются равными. Они называются инвариантами (неизменными) уравнения второй степени.
С их помощью различают три типа линий второго порядка.
1) Эллиптический тип, если 
.
К нему относятся, кроме действительного эллипса, также мнимый эллипс
и пара мнимых прямых, пересекающихся в действительной точке 
.
2) Гиперболический тип, если 
.
К нему относится, кроме гиперболы, пара действительных пересекающихся прямых 
.
3) Параболический тип, если 
.
К нему относится, кроме параболы, пара параллельных (действительных или мнимых) прямых (они могут совпадать).
Пример. Приведите уравнение 5x 2 + 9y 2 – 30x + 18y + 9 = 0 к каноническому виду и постройте кривую.
Выделим полный квадрат: сгруппируем члены этого уравнения, содержащие одноименные координаты:
(5x 2 – 30x) + (9y 2 + 18y) +9 = 0, 5(x 2 – 6x) + 9(y 2 + 2y) +9 = 0.
Дополним члены в скобках до полных квадратов:
5(x 2 – 6x + 9 – 9) + 9(y 2 + 2y + 1 – 1) +9 = 0, 5(x – 3) 2 + 9(y + 1) 2 = 45.
то есть точка О1(3, -1) – центр кривой.
Уравнение в новой системе координат принимает вид:
, определяет эллипс с полуосями а=3, b=
который в исходной системе координат имеет центр в точке О1(3, -1).
Пример. Определите вид кривой 
Определим угол поворота осей по формуле (7):
Подвергнем уравнение кривой преобразованию:
и получим уравнение эллипса
.
| | | следующая лекция ==> | |
| Параллельный перенос | | | Окружности |
Дата добавления: 2013-12-13 ; Просмотров: 8695 ; Нарушение авторских прав?
Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет
4.1. Параллельный перенос
Перенесём начало координат из точки О в точку О 1 параллельным переносом осей. Пусть в системе координат xoy точка М имеет координаты x и y . Система координат x ′ O 1 y ′ получена из системы координат xO y параллельным переносом осей, при котором начало координат О 1 имеет координаты x 0 и y 0 в системе координат xOy . Точка М в
системе координат x ′ O 1 y ′ имеет координаты x ′ и y ′ . Связь между координатами точки M ( x,y ) и точки M ( x ′ ,y ′ ) в старой и новой системах координат задается формулами:
Уравнения кривых второго порядка, когда их центры симметрии находятся в точке с координатами O 1 ( x 0 ,y 0 ), получаются с помощью преобразования координат при параллельном переносе осей
( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 = R 2 — уравнение окружности с центром в точке O 1 ( x 0 ,y 0 ) и радиусом R .
Аналогично получаются уравнения других кривых
= 1 — уравнения эллипса и гиперболы с центром симметрии
в точке O 1 ( x 0 ,y 0 ) ;
= 2 p ( x − x ) — уравнение параболы с вершиной в точке O 1 ( x 0 ,y 0 ) .
При этом, например, уравнения директрис эллипса и гиперболы: x − x 0 = ± a e , а
параболы: x − x 0 = − 2 p .
Аналогично преобразуются и уравнения асимптот гиперболы: y − y 0 = ± b a ( x − x 0 ) .
4.2. Поворот координатных осей
Выведем формулу преобразования координат при повороте координатных осей.
Повернём оси координат на угол α относительно исходной системы координат. Координаты точки М в системе координат x ′ Oy ′ равны x ′ и y ′ . Найдём её координаты в системе коорднат xOy . В треугольнике
CMD CMD = α , OD=x ′ , MD=y ′ .
Следовательно, x=OA=OB-AB=OB-CD, y=MA=AC-CM=DB+CM.
OB = x cos α , CD = y
cos α , DB = x sin α ,
Эти формулы выражают старые координаты ( x,y ) произвольной точки М через новые координаты ( x ′ ,y ′ ) этой же точки при повороте осей на угол α .
Формулы, выражающие новые координаты ( x ′ ,y ′ ) точки М через её старые координаты ( x,y ), получим из следующих соображений: если новая система получена поворотом старой на угол α , то старая система получается поворотом новой на угол (- α ), поэтому в равенствах (3) можно поменять местами старые и новые координаты, заменяя одновременно α на (- α ).
Выполнив это преобразование, получим
x ′ = x cos α + y sin α , y ′ = − x sin α+ y cos α .
При этом, например, уравнения директрис эллипса (гиперболы) и параболы принимают вид:
x ′ cos α − y ′ sin α = ± a e ; x ′ cos α − y ′ sin α = − 2 p .
4.3. Изменение начала координат и поворот осей
Если оси декартовой прямоугольной системы переносятся параллельно на величины x 0 по оси ox и на y 0 по оси oy и, кроме того, поворачиваются на угол α , то этому изменению системы соответствуют формулы преобразования
координат, выражающие старые координаты через новые
