Преобразование координат при повороте осей

Преобразование координат при повороте осей

ПП 7.3. Преобразования координат

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ФОРМУЛЫ

Параллельный перенос

Перенесём начало координат из точки О в точку О1 параллельным переносом осей. Пусть в системе ко­ординат xoy точка М имеет координаты x и y. Система координат x¢O1y¢ получена из системы координат xOy параллельным переносом осей, при котором начало координат О1 имеет координаты x и y в системе координат xOy. Точка М в системе координат x¢O1y¢ имеет координаты x¢ и y¢. Связь между координатами точки M(x,y) и точки M(x¢,y¢) в старой и новой системах координат задается формулами:

(1)

(2)

Уравнения кривых второго порядка, когда их центры симметрии находятся в точке с координатами O1(x,y), получаются с помощью преобразования координат при параллельном переносе осей (2).

— уравнение окружности с центром в точке O1(x,y) и радиусом R.

Аналогично получаются уравнения других кривых второго порядка:

— уравнения эллипса и гиперболы с цен­тром симметрии в точке O1(x,y);

— уравнение параболы с вершиной в точке O1(x,y).

При этом, например, уравнения директрис эллипса и гиперболы: , а параболы: . Аналогично преобразуются и уравнения асимптот гиперболы: .

Поворот координатных осей

Выведем формулу преобразования координат при повороте координатных осей.

Повернём оси координат на угол a относительно исходной системы координат. Координаты точки М в системе координат x¢Oy¢ равны x¢ и y¢. Найдём её координаты в системе координат xOy. В треугольнике CMD , OD = x¢, MD = y¢.

x = OA = OB – AB = OB — CD, y = MA = AC + CM = DB + CM.

(3)

Эти формулы выражают старые координаты (x,y) произвольной точки М через новые координаты (x¢,y¢) этой же точки при повороте осей на угол a.

Формулы, выражающие новые координаты (x¢,y¢) точки М через её старые координаты (x,y), получим из следующих соображений: если новая система получена поворотом старой на угол a, то старая система получается поворотом новой на угол (-a), поэтому в равенствах (3) можно поменять местами старые и новые координаты, заменяя одновременно a на (-a).

Выполнив это преобразование, получим

При этом, например, уравнения директрис эллипса (ги­перболы) и параболы принимают вид:

Изменение начала координат и поворот осей

Если оси декартовой прямоугольной системы переносятся параллельно на величины x по оси ox и на y по оси oy и, кроме того, поворачиваются на угол a, то этому изменению системы соответствуют формулы преобразования координат, выражающие старые координаты через новые:

Читайте также:  Пароль для вай фай придумать

(4)

и новые координаты через старые:

(5)

Поворот координатных осей

Выведем формулу преобразования координат при повороте координатных осей.

Повернём оси координат на угол a относительно исходной системы координат. Координаты точки М в системе координат x¢Oy¢ равны и y¢. Найдём её координаты в системе коорднат xOy. В треугольнике CMD , OD=x¢, MD=y¢.

Следовательно, x=OA=OB-AB=OB-CD, y=MA=AC+CM=DB+CM.

то (3)

Эти формулы выражают старые координаты (x,y) произвольной точки М через новые координаты (x¢,y¢) этой же точки при повороте осей на угол a.

Формулы, выражающие новые координаты (x¢,y¢) точки М через её старые координаты (x,y), получим из следующих соображений: если новая система получена поворотом старой на угол a, то старая система получается поворотом новой на угол (-a), поэтому в равенствах (3) можно поменять местами старые и новые координаты, заменяя одновременно a на (-a).

Выполнив это преобразование, получим

Если оси декартовой прямоугольной системы переносятся параллельно на величины x по оси ox и на y по оси oy и, кроме того, поворачиваются на угол a, то этому изменению системы соответствуют формулы преобразования координат, выражающие старые координаты через новые

(4)

и новые координаты через старые:

(5)

Приведение общего уравнения кривой второго порядка
к каноническому виду

Пусть кривая второго порядка задана в общем виде:

.

Всякая линия второго порядка есть либо эллипс, либо парабола, либо распадается на пару прямых (пересекающихся, параллельных или совпадающих).

Приведение этого уравнения к каноническому виду заключается в нахождении системы координат, в которой кривая имеет канонический вид, геометрически это может быть достигнуто поворотом координатных осей на угол, совмещающий оси симметрии кривой с координатными осями и переносом начала координат в центр кривой (x,y).

1) Члены, содержащие переменные в первой степени, исчезают после выделения в общем уравнении полных квадратов, тем самым алгебраически позволяют найти центр кривой после применения формул

Центр кривой, если он существует, находится из системы

(6)

– условие центральности.

Кривые второго порядка, имеющие единственный центр, называются центральными.

После переноса начала координат в центр (x,y) уравнение кривой примет вид

,

где .

2) Члены, содержащие произведение текущих координат исчезают после

подвергнем уравнение (6) преобразованию поворота осей координат на угол .

Читайте также:  Буква с чертой сверху в ворде

где — новые координаты.

Выпишем из преобразованного уравнения, слагаемые второго порядка:

Из этих слагаемых нас интересует слагаемое, содержащее произведение , коэффициент перед которым равен

Угол поворота находится из условия В1=0: .

Откуда (7)

Каноническое уравнение кривой принимает вид:

,

где

Сделаем некоторые замечания о виде линий второго порядка.

При переходе от одной системы прямоугольных координат к другой мы заменяем уравнение

линии второго порядка другим уравнением

.

При этом выражения и

остаются равными. Они называются инвариантами (неизменными) уравнения второй степени.

С их помощью различают три типа линий второго порядка.

1) Эллиптический тип, если .

К нему относятся, кроме действительного эллипса, также мнимый эллипс

и пара мнимых прямых, пересекающихся в действительной точке .

2) Гиперболический тип, если .

К нему относится, кроме гиперболы, пара действительных пересекающихся прямых .

3) Параболический тип, если .

К нему относится, кроме параболы, пара параллельных (действительных или мнимых) прямых (они могут совпадать).

Пример. Приведите уравнение 5x 2 + 9y 2 – 30x + 18y + 9 = 0 к каноническому виду и постройте кривую.

Выделим полный квадрат: сгруппируем члены этого уравнения, содержащие одноименные координаты:
(5x 2 – 30x) + (9y 2 + 18y) +9 = 0, 5(x 2 – 6x) + 9(y 2 + 2y) +9 = 0.

Дополним члены в скобках до полных квадратов:
5(x 2 6x + 9 – 9) + 9(y 2 + 2y + 1 1) +9 = 0, 5(x – 3) 2 + 9(y + 1) 2 = 45.

то есть точка О1(3, -1) – центр кривой.

Уравнение в новой системе координат принимает вид:

, определяет эллипс с полуосями а=3, b=который в исходной системе координат имеет центр в точке О1(3, -1).

Пример. Определите вид кривой

Определим угол поворота осей по формуле (7):

Подвергнем уравнение кривой преобразованию:

и получим уравнение эллипса

.

| следующая лекция ==>
Параллельный перенос | Окружности

Дата добавления: 2013-12-13 ; Просмотров: 8695 ; Нарушение авторских прав?

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

4.1. Параллельный перенос

Перенесём начало координат из точки О в точку О 1 параллельным переносом осей. Пусть в системе координат xoy точка М имеет координаты x и y . Система координат x ′ O 1 y ′ получена из системы координат xO y параллельным переносом осей, при котором начало координат О 1 имеет координаты x 0 и y 0 в системе координат xOy . Точка М в

системе координат x ′ O 1 y ′ имеет координаты x ′ и y ′ . Связь между координатами точки M ( x,y ) и точки M ( x ′ ,y ′ ) в старой и новой системах координат задается формулами:

Читайте также:  Что такое ttl в роутере

Уравнения кривых второго порядка, когда их центры симметрии находятся в точке с координатами O 1 ( x 0 ,y 0 ), получаются с помощью преобразования координат при параллельном переносе осей

( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 = R 2 — уравнение окружности с центром в точке O 1 ( x 0 ,y 0 ) и радиусом R .

Аналогично получаются уравнения других кривых

= 1 — уравнения эллипса и гиперболы с центром симметрии

в точке O 1 ( x 0 ,y 0 ) ;

= 2 p ( x − x ) — уравнение параболы с вершиной в точке O 1 ( x 0 ,y 0 ) .

При этом, например, уравнения директрис эллипса и гиперболы: x − x 0 = ± a e , а

параболы: x − x 0 = − 2 p .

Аналогично преобразуются и уравнения асимптот гиперболы: y − y 0 = ± b a ( x − x 0 ) .

4.2. Поворот координатных осей

Выведем формулу преобразования координат при повороте координатных осей.

Повернём оси координат на угол α относительно исходной системы координат. Координаты точки М в системе координат x ′ Oy ′ равны x ′ и y ′ . Найдём её координаты в системе коорднат xOy . В треугольнике

CMD CMD = α , OD=x ′ , MD=y ′ .

Следовательно, x=OA=OB-AB=OB-CD, y=MA=AC-CM=DB+CM.

OB = x cos α , CD = y

cos α , DB = x sin α ,

Эти формулы выражают старые координаты ( x,y ) произвольной точки М через новые координаты ( x ′ ,y ′ ) этой же точки при повороте осей на угол α .

Формулы, выражающие новые координаты ( x ′ ,y ′ ) точки М через её старые координаты ( x,y ), получим из следующих соображений: если новая система получена поворотом старой на угол α , то старая система получается поворотом новой на угол (- α ), поэтому в равенствах (3) можно поменять местами старые и новые координаты, заменяя одновременно α на (- α ).

Выполнив это преобразование, получим

x ′ = x cos α + y sin α , y ′ = − x sin α+ y cos α .

При этом, например, уравнения директрис эллипса (гиперболы) и параболы принимают вид:

x ′ cos α − y ′ sin α = ± a e ; x ′ cos α − y ′ sin α = − 2 p .

4.3. Изменение начала координат и поворот осей

Если оси декартовой прямоугольной системы переносятся параллельно на величины x 0 по оси ox и на y 0 по оси oy и, кроме того, поворачиваются на угол α , то этому изменению системы соответствуют формулы преобразования

координат, выражающие старые координаты через новые

Ссылка на основную публикацию
Почему присоски не держатся на кафеле
В продаже есть множество декоративных и функциональных присосок для кафельной плитки. Они выглядят интересно, стоят недорого и значительно упрощают организацию...
Почему mafia 2 не запускается
Многие игроки, устанавливая игру сталкиваются с разного рода проблемами. Их может быть огромное количество, в этой статье я хотел бы...
Почему realtek hd audio drivers не работает
Доброго времени суток! Realtek HD — это, наверное, один из самых популярных аудио-драйверов, позволяющий тонко настраивать уровень и качество звука...
Почему приставка билайн не реагирует на пульт
Крупнейший телекоммуникационный провайдер Beeline использует качественное оборудование для подключения абонентов, при этом, как и в случае с любым аппаратным обеспечением,...
Adblock detector