Пирамида в основании которой лежит квадрат

Пирамида в основании которой лежит квадрат

Хочешь подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике на отлично?

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Что такое пирамида?

Как она выглядит?

Вместо того, чтобы читать длинное определение, достаточно просто посмотреть на картинку:

Видишь: у пирамиды внизу (говорят «в основании») какой-нибудь многоугольник, и все вершины этого многоугольника соединены с некоторой точкой в пространстве (эта точка называется «вершина»).

У всей этой конструкции ещё есть боковые грани, боковые рёбра и рёбра основания. Ещё раз нарисуем пирамиду вместе со всеми этими названиями:

Некоторые пирамиды могут выглядеть очень странно, но всё равно это – пирамиды.

Вот, например, совсем «косая» пирамида.

И ещё немного о названиях: если в основании пирамиды лежит треугольник, то пирамида называется треугольной, если четырёхугольник, то четырёхугольной, а если стоугольник, то … догадайся сам.

Высота пирамиды.

Высота пирамидыперпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.

При этом точка, куда oпустилась высота, называется основанием высоты. Обрати внимание, что в «кривых» пирамидах высота может вообще оказаться вне пирамиды. Вот так:

И ничего в этом страшного нет. Похоже на тупоугольный треугольник.

Правильная пирамида.

Правильнойназывается такая пирамида, у которой в основании лежит правильный многоугольник, а вершина пирамиды проецируется в центр основания.

Много сложный слов? Давай расшифруем: «В основании – правильный многоугольник» — это понятно. А теперь вспомним, что у правильного многоугольника есть центр – точка, являющаяся центром и вписанной, и описанной окружности.

Ну вот, а слова «вершина проецируется в центр основания» означают, что основание высоты попадает как раз в центр основания. Смотри, как ровненько и симпатично выглядит правильная пирамида.

Читайте также:  Перенос аккаунта с android на ios

Шестиугольная: в основании – правильный шестиугольник, вершина проецируется в центр основания.

Четырёхугольная: в основании – квадрат, вершина проецируется в точку пересечения диагоналей этого квадрата.

Треугольная: в основании – правильный треугольник, вершина проецируется в точку пересечения высот (они же и медианы, и биссектрисы) этого треугольника.

Очень важные свойства правильной пирамиды:

В правильной пирамиде

  • все боковые рёбра равны.
  • все боковые грани – равнобедренные треугольники и все эти треугольники равны.

Объем пирамиды

Главная формула объема пирамиды:

Откуда взялась именно ? Это не так уж просто, и на первых порах нужно просто запомнить, что у пирамиды и конуса в формуле объема есть , а у цилиндра – нет.

Теперь давай посчитаем объем самых популярных пирамид.

Объем правильной треугольной пирамиды

Пусть сторона основания равна , а боковое ребро равно . Нужно найти и .

— это площадь правильного треугольника .

Вспомним, как искать эту площадь. Используем формулу площади:

У нас « » — это , а « » — это тоже , а .

По теореме Пифагора для

Чему же равно ? Это радиус описанной окружности в , потому что пирамидаправильная и, значит, — центр .

Найдем (Подробнее смотри в теме «Правильный треугольник»).

, так как — точка пересечения и медиан тоже.

(теорема Пифагора для )

Подставим в формулу для .

И подставим все в формулу объема:

Внимание: если у тебя правильный тетраэдр (т.е. ), то формула получается такой:

Объем правильной четырехугольной пирамиды

Пусть сторона основания равна , а боковое ребро равно .

Здесь и искать не нужно; ведь в основании – квадрат, и поэтому .

Найдем . По теореме Пифагора для

Известно ли нам ? Ну, почти. Смотри:

(это мы увидели, рассмотрев ).

Подставляем в формулу для :

А теперь и и подставляем в формулу объема.

Объем правильной шестиугольной пирамиды.

Пусть сторона основания равна , а боковое ребро .

Читайте также:  Ремонт усилителя вега 50у 122с своими руками

Как найти ? Смотри, шестиугольник состоит ровно из шести одинаковых правильных треугольников. Площадь правильного треугольника мы уже искали при подсчете объема правильной треугольной пирамиды, здесь используем найденную формулу.

Теперь найдем (это ).

По теореме Пифагора для

Но чему же равно ? Это просто , потому что (и все остальные тоже) правильный.

ПИРАМИДА. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Пирамида — это многогранник, который состоит из любого плоского многоугольника ( основание пирамиды ), точки, не лежащей в плоскости основания, ( вершина пирамиды ) и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания ( боковые ребра ).

Высота пирамиды – перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.

Правильная пирамида — пирамида, у которой в основании лежит правильный многоугольник, а вершина пирамиды проецируется в центр основания.

Свойство правильной пирамиды:

  • В правильной пирамиде все боковые рёбра равны.
  • Все боковые грани – равнобедренные треугольники и все эти треугольники равны.

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!

Стать учеником YouClever,

Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике по цене "чашка кофе в месяц",

А также получить бессрочный доступ к учебнику "YouClever", Программе подготовки (решебнику) "100gia", неограниченному пробному ЕГЭ и ОГЭ, 6000 задач с разбором решений и к другим сервисам YouClever и 100gia.

Четырехугольной пирамидой называется многогранник, в основании которого лежит квадрат, а все боковые грани являются одинаковыми равнобедренными треугольниками.

У данного многогранника есть множество различных свойств:

  • Его боковые ребра и прилегающие к ним двугранные углы равны между собой;
  • Площади боковых граней одинаковы;
  • В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат;
  • Высота, опущенная из вершины пирамиды, пересекается с точкой пересечения диагоналей основания.

Все эти свойства помогают легко находить площадь четырехугольной пирамиды. Однако довольно часто помимо нее требуется рассчитать объем многогранника. Для этого применяется формула объема четырехугольной пирамиды:

Читайте также:  Комментарий под фото маленькой девочки

То есть объем пирамиды равен одной третьей произведения высоты пирамиды на площадь основания. Так как площадь квадрата равна произведению его равных сторон, то мы сразу вписываем в выражение объема формулу площади квадрата.
Рассмотрим пример расчета объема четырехугольной пирамиды.

Вот таким образом, зная несколько простых формул, мы смогли рассчитать объем правильной четырехугольной пирамиды. Не забывайте, что данная величина измеряется в кубических единицах.

В основании правильной четырёхугольной пирамиды MABCD лежит квадрат ABCD со стороной 6. Противоположные боковые рёбра пирамиды попарно перпендикулярны. Через середины рёбер MA и MB проведена плоскость α, параллельная ребру MC.

а) Докажите, что сечение плоскостью α пирамиды MABC является параллелограммом.

б) Найдите площадь сечения пирамиды MABC плоскостью α.

а) Пусть точка Q — середина ребра MA, а точка K — середина ребра MB. Плоскость пересекает плоскость BMC по отрезку KL, параллельному ребру MC. Следовательно, плоскость пересекает плоскость AMC по прямой, параллельной ребру MC. На этой прямой лежит средняя линия треугольника AMC, поэтому плоскость проходит через точку O — середину отрезка AC. Таким образом, сечение — четырёхугольник QKLO, в котором стороны KL и QO параллельны отрезку MC и равны его половине. Значит, QKLO —параллелограмм.

б) Отметим точку F — середину отрезка QK и рассмотрим плоскость MOF. Прямая QK перпендикулярна прямым FM и MO, следовательно, она перпендикулярна плоскости MFO, поэтому она перпендикулярна отрезку OF. Таким образом, отрезок OF служит высотой параллелограмма QKLO. Сечение пирамиды MABCD плоскостью MOF — равнобедренный

треугольник NMG. Отрезок OF является медианой прямоугольного треугольника MOG, проведённой к его гипотенузе, поэтому

По условию треугольник AMC прямоугольный и равнобедренный, поэтому

и то же верно для других боковых рёбер. Следовательно, все боковые грани пирамиды — равносторонние треугольники. Тогда и

Площадь параллелограмма QKLO равна

Ответ:

Ссылка на основную публикацию
Перенос почты с одного хостинга на другой
Перенос почты со стороннего хостинга вам необходимо выполнить самостоятельно. Помощь со стороны технической поддержки, к сожалению, не предоставляется. Для переноса...
Ошибка launcher на андроид что делать
Launcher 3 произошла ошибка на Андроид, что делать? Launcher 3 - пользовательская оболочка, которая довольно часто встречается на Android-устройствах. У...
Ошибка kernel mode driver
Ваш IT помощник Ошибка «Видеодрайвер NVIDIA Windows Kernel Mode Driver перестал отвечать» очень распространена среди любителей поиграть в компьютерные игры...
Перенос информации с самсунга на самсунг
У компании Samsung есть хорошая разработка, которая носит название Smart Switch. Благодаря ей вы можете узнать, как перенести данные с...
Adblock detector