Перейти к полярным координатам в двойном интеграле

Перейти к полярным координатам в двойном интеграле

Администратор
Роман

Tel. +380685083397
[email protected]
skype, facebook:
roman.yukhym

Решение задач
Андрей

facebook:
dniprovets25

.

б) Построим область интегрирования D (см. рис.1.3). Пусть во внешнем интеграле интегрирование производится по x, а во внутреннем – по y. В этом случае при изменении x от –1 до 1 изменения переменной y сверху будут ограничены двумя линиями: окружностью и прямой. На отрезке [–1;0] y изменяется от y=0 до ; на отрезке [0;1] переменная y изменяется от y=0 до y=1–x. Таким образом,

.

Пусть теперь во внешнем интеграле интегрирование производится по y, а во внутреннем – по x. В этом случае y будет изменяться от 0 до 1, а переменная x – от дуги окружности до прямой x=1–y. В результате получим

.

Данные примеры показывают, как важно правильно выбирать порядок интегрирования.

1.4. Вычисление двойных интегралов в декартовой системе координат

Пример 1.3. Вычислить двойной интеграл

Решение. Построим область интегрирования (см. рис.1.4). Расставим пределы в соответствующих повторных интегралах и произведем вычисления. В результате, получим

.

Пример 1.4. Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями x 2 =y, x 2 =4y, y=4.

Решение. Изобразим данную фигуру (рис. 1.5). Видно, что полученная фигура состоит из двух одинаковых областей: D1 и D2. следовательно

.

Интегрирование во внешнем интеграле будем производить по переменной y (в противном случае область интегрирования пришлось бы разбивать на две части). Тогда переменная y будет изменяться от 0 до 4, а переменная x, соответственно, от параболы до параболы . В результате получаем

.

1.5. Вычисление двойных интегралов в полярной системе координат

Наиболее употребительная система координат на плоскости – это полярные координаты. Они связаны с декартовыми координатами x и y равенствами:

(1.8)

где r³0, 0£j 2 +y 2 =r 2 . Тогда уравнение границы области D примет вид r=2cosj. Это есть уравнение окружности
(рис. 1.6). Здесь j изменяется от –p/2 до p/2, а r от 0 до окружности r=2cosj. Таким образом, получаем

Пример 1.6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией .

Решение. Запишем уравнение линии в полярной системе координат

,

т.е.

.

Построим эту линию (рис. 1.7). Поскольку полученная формула симметрична относительно осей Ox и Oy, то достаточно вычислить площадь четвертой части этой фигуры, а затем умножить полученный результат на 4:

.

2. ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

2.1. Определение и вычисление тройных интегралов в декартовой системе координат

По аналогии с двойным интегралом вводится понятие тройного интеграла. Пусть в некоторой замкнутой ограниченной области T трехмерного пространства задана ограниченная функция трех переменных f(x,y,z). Разобьем эту область на n произвольных частей с объемами Dvi. В каждой частичной области возьмем произвольную точку M(xi,yi,zi) и составим сумму:

Читайте также:  Мегафон отменил роуминг по россии или нет

,

которая называется интегральной суммой для функции f(x,y,z) по области T. Если интегральная сумма при n®¥ (при этом диаметры всех областей должны стремится к нулю: ) имеет предел, то этот предел называется тройным интегралом:

. (2.1)

Отметим, что тройные интегралы обладают свойствами, аналогичные свойствам двойных интегралов.

Предположим, что область T является простой в направлении оси Oz, т.е. любая прямая, проведенная параллельно оси Oz, пересекает границу области T не более чем в двух точках. Это означает, что область T ограничена снизу поверхностью z=z1(x,y), сверху поверхностью z=z2(x,y) и с боков – цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Oz. Тогда тройной интеграл можно записать в виде

. (2.2)

Отметим, что здесь внешний интеграл обязательно (!) должен иметь постоянные пределы (т.е. числа), пределы во втором интеграле могут зависеть только от той переменной, которая стоит во внешнем интеграле.

Если в тройном интеграле подынтегральная функция f(x,y,z)º1, то тройной интеграл будет равен объему области интегрирования T, т.е.

. (2.3)

При вычислении тройных интегралов следует:

1) сделать чертеж области интегрирования T;

2) изобразить проекцию области T на выбранную координатную плоскость;

3) расставить пределы интегрирования.

, если

  • АлтГТУ 419
  • АлтГУ 113
  • АмПГУ 296
  • АГТУ 266
  • БИТТУ 794
  • БГТУ «Военмех» 1191
  • БГМУ 171
  • БГТУ 602
  • БГУ 153
  • БГУИР 391
  • БелГУТ 4908
  • БГЭУ 962
  • БНТУ 1070
  • БТЭУ ПК 689
  • БрГУ 179
  • ВНТУ 119
  • ВГУЭС 426
  • ВлГУ 645
  • ВМедА 611
  • ВолгГТУ 235
  • ВНУ им. Даля 166
  • ВЗФЭИ 245
  • ВятГСХА 101
  • ВятГГУ 139
  • ВятГУ 559
  • ГГДСК 171
  • ГомГМК 501
  • ГГМУ 1966
  • ГГТУ им. Сухого 4467
  • ГГУ им. Скорины 1590
  • ГМА им. Макарова 299
  • ДГПУ 159
  • ДальГАУ 279
  • ДВГГУ 134
  • ДВГМУ 408
  • ДВГТУ 936
  • ДВГУПС 305
  • ДВФУ 949
  • ДонГТУ 497
  • ДИТМ МНТУ 109
  • ИвГМА 488
  • ИГХТУ 130
  • ИжГТУ 143
  • КемГППК 171
  • КемГУ 507
  • КГМТУ 269
  • КировАТ 147
  • КГКСЭП 407
  • КГТА им. Дегтярева 174
  • КнАГТУ 2909
  • КрасГАУ 345
  • КрасГМУ 629
  • КГПУ им. Астафьева 133
  • КГТУ (СФУ) 567
  • КГТЭИ (СФУ) 112
  • КПК №2 177
  • КубГТУ 138
  • КубГУ 107
  • КузГПА 182
  • КузГТУ 789
  • МГТУ им. Носова 367
  • МГЭУ им. Сахарова 232
  • МГЭК 249
  • МГПУ 165
  • МАИ 144
  • МАДИ 151
  • МГИУ 1179
  • МГОУ 121
  • МГСУ 330
  • МГУ 273
  • МГУКИ 101
  • МГУПИ 225
  • МГУПС (МИИТ) 636
  • МГУТУ 122
  • МТУСИ 179
  • ХАИ 656
  • ТПУ 454
  • НИУ МЭИ 640
  • НМСУ «Горный» 1701
  • ХПИ 1534
  • НТУУ «КПИ» 212
  • НУК им. Макарова 542
  • НВ 778
  • НГАВТ 362
  • НГАУ 411
  • НГАСУ 817
  • НГМУ 665
  • НГПУ 214
  • НГТУ 4610
  • НГУ 1992
  • НГУЭУ 499
  • НИИ 201
  • ОмГТУ 301
  • ОмГУПС 230
  • СПбПК №4 115
  • ПГУПС 2489
  • ПГПУ им. Короленко 296
  • ПНТУ им. Кондратюка 119
  • РАНХиГС 186
  • РОАТ МИИТ 608
  • РТА 243
  • РГГМУ 117
  • РГПУ им. Герцена 123
  • РГППУ 142
  • РГСУ 162
  • «МАТИ» — РГТУ 121
  • РГУНиГ 260
  • РЭУ им. Плеханова 122
  • РГАТУ им. Соловьёва 219
  • РязГМУ 125
  • РГРТУ 666
  • СамГТУ 130
  • СПбГАСУ 315
  • ИНЖЭКОН 328
  • СПбГИПСР 136
  • СПбГЛТУ им. Кирова 227
  • СПбГМТУ 143
  • СПбГПМУ 146
  • СПбГПУ 1598
  • СПбГТИ (ТУ) 292
  • СПбГТУРП 235
  • СПбГУ 577
  • ГУАП 524
  • СПбГУНиПТ 291
  • СПбГУПТД 438
  • СПбГУСЭ 226
  • СПбГУТ 193
  • СПГУТД 151
  • СПбГУЭФ 145
  • СПбГЭТУ «ЛЭТИ» 379
  • ПИМаш 247
  • НИУ ИТМО 531
  • СГТУ им. Гагарина 113
  • СахГУ 278
  • СЗТУ 484
  • СибАГС 249
  • СибГАУ 462
  • СибГИУ 1654
  • СибГТУ 946
  • СГУПС 1473
  • СибГУТИ 2083
  • СибУПК 377
  • СФУ 2423
  • СНАУ 567
  • СумГУ 768
  • ТРТУ 149
  • ТОГУ 551
  • ТГЭУ 325
  • ТГУ (Томск) 276
  • ТГПУ 181
  • ТулГУ 553
  • УкрГАЖТ 234
  • УлГТУ 536
  • УИПКПРО 123
  • УрГПУ 195
  • УГТУ-УПИ 758
  • УГНТУ 570
  • УГТУ 134
  • ХГАЭП 138
  • ХГАФК 110
  • ХНАГХ 407
  • ХНУВД 512
  • ХНУ им. Каразина 305
  • ХНУРЭ 324
  • ХНЭУ 495
  • ЦПУ 157
  • ЧитГУ 220
  • ЮУрГУ 306
Читайте также:  Передача данных из формы в php

Полный список ВУЗов

Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).

В двойном интеграле , где G — круг, ограниченный окружностью x 2 + y 2 = 2x, перейти к полярным координатам с полюсом в точке O(0, 0) и вычислить полученный интеграл.

Круг G изображен на Рис. 1, а.

Уравнения, связывающие ( x, y) и полярные координаты ( ρ, φ) с полюсом в точке O(0, 0), имеют вид

причем наглядно видно, что в качестве промежутка изменения φ можно взять сегмент —π/2 ≤ φπ/2. Подставляя выражения (1) в уравнение окружности, получим ρ 2 = 2ρ cos φ, откуда ρ = 0 или ρ = 2 cos φ. Эти две кривые на плоскости (ρ, φ) при —π/2 ≤ φπ/2 ограничивают область g (см. Рис. 1, б), являющуюся прообразом области G при отображении (1). Якобиан отображения (1) равен ρ. Отметим, что на границе ρ = 0 области g, однако формула

(2)

замены переменных применима. Подынтегральная функция x 2 + y 2 в новых переменных равна ρ 2 . По формуле (2) имеем

Полученный двойной интеграл по области g сводим к повторному:

(3)

и вычисляем повторный интеграл, применяя формулу Ньютона-Лейбница:

Замечание 1. Расстановку пределов интегрирования в повторном интеграле (3) можно произвести, рассматривая не область g, а изменение полярных координат в исходной области G. На Рис. 1(в) видно, что при каждом значении φ из промежутка [-π/2, π/2] переменная ρ изменяется от 0 (значение ρ в полюсе) до 2 cos φ (значение ρ на окружности, уравнение которой в полярных координатах имеет вид ρ = 2 cos φ). Таким образом, пределы интегрирования по φ — от —π/2 до π/2, а по ρ — от 0 до 2 cos φ.

Замечание 2. Обычно замена переменных в двойном интеграле производится с целью упрощения области интегрирования. Если в данном примере перейти к полярным координатам с полюсом не в точке O(0, 0), а в точке A(1, 0) (центре круга), т. е. по формулам x — 1 = ρ cos φ, y = ρ sin φ, то прообразом круга G окажется прямоугольник (наиболее простая область) σ = <(ρ, φ): 0 ≤ ρ ≤ 1, 0 ≤ φ ≤ 2π> (см. Рис. 1, г). Выражение для подынтегральной функции примет вид x 2 + y 2 = 1 + 2ρ cos φ + ρ 2 . В этом случае, используя формулу (2) и сводя двойной интеграл к повторному, получим

Читайте также:  Как поменять панель пуск на windows 10
Ссылка на основную публикацию
Ошибка launcher на андроид что делать
Launcher 3 произошла ошибка на Андроид, что делать? Launcher 3 - пользовательская оболочка, которая довольно часто встречается на Android-устройствах. У...
Определить место нахождения сим карты
Определите местоположение мобильного устройства без помощи оператора, воспользовавшись нашим сервисом геолокации, и узнайте, где находится человек, которого вы ищите. Система...
Определить номер откуда звонил
На данной странице можно определить сотового оператора и регион (или город и страну) по любому номеру телефона в России или...
Ошибка kernel mode driver
Ваш IT помощник Ошибка «Видеодрайвер NVIDIA Windows Kernel Mode Driver перестал отвечать» очень распространена среди любителей поиграть в компьютерные игры...
Adblock detector