Найти среднее значение функции в области

Найти среднее значение функции в области

Обсуждая концепцию математического образования в 12-летней школе [3, с. 13–18], следует уточнить целеполагание одного из основных блоков математического образования – функции. Важным является изучение не столько свойств функций, сколько развитие умений применять функции для описания реальных процессов. Но реальные процессы задаются сложными функциональными зависимостями. Математическое моделирование упрощает зависимости, заменяя одну функцию другой, более простой.

Основная идея введения интеграла – аккумуляция (накопление) информации о функции на отрезке – оказалась незавершенной не только в школьном курсе математики, но и в общем образовании учащихся. Нет возврата к более простой функции, которая порождает такое же значение интеграла, т. е. накапливает такую же информацию на отрезке. Другими словами, нет усреднения заданной функции на отрезке.

В школьных, да и в вузовских учебниках, пропущено очень важное применение определенного интеграла для нахождения среднего значения непрерывной функции на отрезке. Некоторые авторы программ и учебников много говорят о развитии функциональной линии, но ни слова не говорят, как усреднить функцию на промежутке, хотя среднее значение двух величин определяется. Следует сказать больше. Мотивация изучения функциональной линии в общем образовании учащихся оказалась не полностью сформулированной и незавершенной.

Моделирование реальных задач требует усреднения в математических моделях непрерывных функций (в экологии, в метеосводке погодных условий и т. д.), усреднения в компьютерных экспериментах дискретных величин с малым шагом аргумента – что приближается к усреднению непрерывных величин.

Среднее значение функции удобно ввести на примере определения средней скорости движения, как отношения длины всего пройденного пути к величине затраченного времени

Рассмотрим общее определение среднего значения функции.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной функции y = f(x) (пусть f(x) принимает неотрицательные значения), осью ox и вертикальными прямыми y = a, y = b, равна площади некоторого прямоугольника, построенного на отрезке [a; b]. Высота этого прямоугольника является средним значением функции y = f(x) на отрезке [a; b]. В общем случае она определяется по формуле [2, с. 559]

(1)

В школьных и вузовских учебниках много внимания уделяется нахождению интегралов. Это необходимое развитие навыков нахождения интегралов, но очевидно, что более важно показать его применения. Из всех учебников и справочников для школы только в справочниках [1, с. 497; 2, с. 368, 369] определяется среднее значение функции на отрезке. Следует отметить, что пропедевтика введения среднего значения функции иногда проводится в задачах следующего типа на вступительных экзаменах в вузы и в учебниках физики.

1. Катер из Нижневартовска в Сургут двигался со скоростью v1, а в обратном направлении со скоростью v2. Найдите среднюю скорость катера на всем пути, т. е. из Нижневартовска в Сургут и обратно.

Ответ:

2. Катер вначале двигался со скоростью v1 в течение некоторого промежутка времени, а затем в течение такого же промежутка времени со скоростью v2. Найдите среднюю скорость катера на всем пути.

Ответ:

3. Первую треть пути между пунктами велосипедист проехал со скоростью v = 5 м/с, затем половину оставшегося времени он ехал со скоростью v = 10 м/с, после чего до конечного пункта он шел с велосипедом со скоростью v = 1 м/с. Определите среднюю скорость движения велосипедиста.

4. Найдите среднюю скорость тела, если первую четверть времени оно двигалось со скоростью v = 5 м/с, вторую четверть времени – со скоростью v = 10 м/с, оставшуюся часть времени со скоростью v = 15 м/с.

Читайте также:  Смартфоны поддерживающие otg функцию

Не каждый учитель видит в этих задачах функции. Для многих это постоянные величины. Читатель наверно согласится, что это требует корректировки.

Рассмотрим другие примеры, приводящие к пониманию важности изучения среднего значения. Например, мы иногда не можем определить значение функции в данный момент времени и вынуждены пользоваться средними значениями функции.

Величина переменного тока в данный момент времени t (мгновенное значение тока) определяется по формуле

где I – максимальное (амплитудное) значение тока, w – частота, – период. Представим себе, что существует прибор, измеряющий мгновенное значение тока i. Стрелка прибора в течение 1 секунды будет совершать 50 колебаний, показывая значения из отрезка [– I; I]. Зафиксировать информацию практически невозможно. С другой стороны, почти все приборы обладают инерционностью, т. е. требуют для измерения величины некоторого времени (быстродействие прибора). Оно, как правило, значительно больше периода быстрых процессов. Принцип измерения величин во многих приборах основан на измерении какого-то действия за определенный промежуток. Поясним примерами.

Среднее значение переменного тока за период T равно 0 для синусоидальной величины и не характеризует величину переменного тока.

Среднее значение переменного тока в течение полупериода по формуле (1) равно

Некоторые электроизмерительные приборы измеряют среднее значение тока за половину периода, но все они практически градуируются в действующих значениях переменного тока, к разъяснению понятия которого мы переходим.

Действующим (эффективным) значением I переменного тока называется значение такого постоянного тока, который производит такое же действие (тепловое, электромагнитное, механическое и др.), как и данный переменный ток.

Работа, совершенная постоянным током за период T, равна

а работа, совершенная переменным током, равна

Большинство электроизмерительных приборов в цепях переменного тока показывают действующее значение. Для физики и техники большее значение имеет действующее значение переменного тока, чем среднее значение переменного тока. В медицине иногда также выделяется усреднение на отрезке около наибольшего значения, так как оно может произвести на пациента большее влияние, чем средняя величина за период приема лекарства. Эти примеры показывают, что в некоторых науках усреднение функций производится по-разному, в зависимости от воздействия на объект.

Задача. Интервал движения автобуса a минут, интервал движения микроавтобуса – m минут, a Э N, m Э N. Человек приходит на остановку, не зная графика движения транспорта, т. е. случайным образом. Сколько времени в среднем ожидает человек на остановке, если курсируют автобус и микроавтобус?

Решение. Пусть курсирует только автобус с интервалом a минут. Введем отсчет времени от первого уходящего с остановки автобуса. Если пассажир пришел через t минут (t минут. Оно не зависит от времени прихода на остановку. Рассматривая такие случаи для различных значений t, получим среднее время ожидания – мин. В этой задаче среднее время определено элементарным методом с использованием симметрии относительно середины промежутка [0; a].

Если пассажир пришел на остановку через t минут, то функция времени ожидания автобуса имеет вид

Найдем среднее значение времени ожидания автобуса на отрезке [0; a]

Аналогично, если курсирует только микроавтобус, то среднее время ожидания равно мин.

Рассмотрим общий случай, когда курсируют автобус и микроавтобус. Пусть m является делителем числа a, a = mk, k l 2. Пусть автобус приходит спустя s (s

Читайте также:  Ром менеджер для андроид

Если s = 0 или s = m, т. е. автобус и микроавтобус приходят на остановку одновременно, то среднее время ожидания в этом частном случае равно мин. Пассажир может воспользоваться микроавтобусом (автобусом он раньше не уедет). Автобус в этом случае можно исключить из рассмотрения, так как он приходит одновременно с микроавтобусом.

Пусть пассажир пришел на остановку через t минут после отхода микроавтобуса. Если 0

Функция ожидания является кусочно-линейной функцией и состоит из отрезков, образующих углы в 135° с осью ox.

Функция ожидания автобуса является периодической функцией с периодом T = a мин.

Учитывая геометрический смысл интеграла, для вычисления среднего значения функции ожидания достаточно вычислить площадь равнобедренных треугольников с катетами

При

Условие задачи также требует уточнения.

Если мы не знаем величины задержки автобуса относительно микроавтобуса, т. е. предположим, что она каждый день может меняться, тогда среднее значение ожидания следует рассмотреть как функцию t(s) от параметра s. Величину t(s) следует проинтегрировать на промежутке [0; m], а затем поделить на длину этого промежутка. Если s Э [im, (i + 1)m], i Э N, i

Итак, среднее время ожидания автобуса на отрезке [0; a] вычисляется следующим образом

Иногда встречается следующая ошибка.

Если рассматривать все средние значения только на отрезке [0; m], то получим следующие результаты

Этот результат получается из предыдущего при k = 1 и это верно. Но если k > 1, то эта формула не учитывает интервал «микроавтобус – микроавтобус, интервал движения m минут, в течение которого не появляется автобус».

Некоторые задачи для самостоятельного решения.

1. Дан отрезок длиной a, на который произвольным образом бросается точка. Найдите среднее расстояние до границы отрезка.
2. Рассматриваются всевозможные треугольники с данными сторонами OA = a, OB = b и переменным углом g Э [0, p ]. Найдите среднее значение площади треугольников.
3. В окружность радиуса R вписаны всевозможные прямоугольники с параллельными сторонами. Найдите среднее значение площади полученных прямоугольников.

В этой инструкции описывается метод нахождения среднего значения функции, путём нахождения интеграла этой функции.

Инструкция

Что вам понадобится:

  • Умение решать интегралы, знание методов интегрирования
  • знание методов дифференцирования
  • ручка (если есть необходимость в записи)
  • листок бумаги (если нужно куда-то записать)
  • учебник (часто пригождается)

1 шаг

Сначала нужно найти неопределённый интеграл заданной функции y= f(x), при этом домножив функцию f(x) на dx :

где F(x) – это первообразная от f(x), а C – это константа, которую мы обязательно должны дописать, пусть и схематично. Искать эту константу в конкретном примере не нужно, нужно просто указать что она есть.

2 шаг

Затем нам нужно найти определённый интеграл функции (y=f(x)), в котором нижний предел A – будет равен меньшему значению заданного интервала(промежутка), а верхний предел B – будет равен большему значению заданного интервала(промежутка) [A,B], он будет равен разности значений первообразной F(x).

То-есть сначала мы находим первое значение первообразной, подставив вместо переменной x число B, затем находим второе значение первообразной, в котором переменную x мы заменяем на число A, и из первого значения вычитаем второе.

3 шаг

Когда мы нашли определённый интеграл, нам нужно разделить его значение на разность большего и меньшего значения интервала(промежутка): среднее значение f(x)=∆F/(B-A)

4 шаг

Рассмотрим один из примеров,
шаг первый, самый сложный (к нему мы еще будем возвращаться в других примерах):

Читайте также:  Купон на скидку в спортмастере

5 шаг

Здесь рассмотрен второй шаг.
С помощью калькулятора вычисляем что cos pi =(-1), а cos 0=1;
arctg(-1)=(-pi/4), arctg 1=pi/4 :

6 шаг

И здесь завершение, третий шаг. С :

Советы и предупреждения:

  • Это не универсальный метод, так как не любую функцию можно проинтегрировать.
  • Если чего-нибудь не хватает, предлагайте — подредактирую.
  • Методы и примеры со временем буду добавлять. Продолжение следует..

Обсуждение

Редкая инструкция с математическим уклоном!
Рекомендую добавить в теги “обучение”, математика", “школа”.
Раздел математики почти совсем не освещен на аКак, так что есть не освоенный простор 🙂

Спасибо, Violina. Сделаю.

Ваш комментарий

Запросить инструкцию

Не нашли нужную пошаговую инструкцию?
Возможно, что кто-то из посетителей сайта сможет помочь. Оставьте запрос прямо сейчас, если Вы уверены, что эта тема ещё не освещена на нашем проекте!

Среднее значение — Среднее значение числовая характеристика множества чисел или функций; некоторое число, заключённое между наименьшим и наибольшим из их значений. Содержание 1 Основные сведения 2 Иерархи … Википедия

среднее — 3.3 среднее (mean): Среднее значение для (выбранного) времени усреднения результатов измерений анемометром. Источник: ГОСТ Р ИСО 1 … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Среднее Колмогорова — или среднее по Колмогорову для действительных чисел это величины вида где непрерывная строго монотонная функция, а функция, обратная к . При этом выбор … Википедия

Среднее квадратическое значение погрешности телеметрирования — 52. Среднее квадратическое значение погрешности телеметрирования Е. Mean square value error of telemetering Показатель множества возможных значений погрешностей, равный корню квадратному из второго начального момента функции распределения… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Среднее квадратическое значение погрешности телеметрирования — 1. Показатель множества возможных значений погрешностей, равный корню квадратному из второго начального момента функции распределения вероятности погрешности телеметрирования Употребляется в документе: ГОСТ 19619 74 Оборудование… … Телекоммуникационный словарь

История понятия функции — В математике, числовая функция это функция, области определения и значений которой являются подмножествами числовых множеств как правило, множества действительных чисел или множества комплексных чисел . Содержание 1 График функции … Википедия

Аналитические функции — появились в версии Oracle 8.1.6. и являются расширением SQL. Эти расширения сейчас изучаются комитетом ANSI SQL с целью включения в спецификацию языка SQL. Сфера применения Ряд запросов, которые сложно сформулировать на обычном языке SQL, весьма… … Википедия

Аналитические функции (SQL) — Аналитические функции появились в версии Oracle 8.1.6. и являются расширением SQL. Эти расширения сейчас изучаются комитетом ANSI SQL с целью включения в спецификацию языка SQL. Сфера применения Ряд запросов, которые сложно сформулировать на… … Википедия

критическое значение — 2.72. критическое значение Значение, ограничивающее критическую область Источник: ГОСТ Р 50779.10 2000: Статистические методы. Вероятность и основы статистики. Термины и определения … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Переносное значение слова — вторичное (производное) значение слова, связанное с основным, главным значением отношениями метонимической, метафорической зависимости или какими либо ассоциативными признаками. П. з. с. может возникать на основе пространственной,… … Большая советская энциклопедия

Ссылка на основную публикацию
На фейсбук видно кто заходил в гости
В этом обзоре мы поговорим, как узнать, кто заходил на мою страницу в Фейсбук – приведем все доступные способы, которые...
Можно ли писать в директ с компьютера
В одном из последних обновлений социальная сеть Instagram получила полезную функцию – Direct. Теперь в Инсте присутствует полноценная «личка». Мы...
Можно ли перепрошить майкрософт на андроид
Перепрошивка Windows Phone на Android хоть и сопряжена с определенными трудностями, но все же возможна. Для этого вам понадобится ROM-версия...
На что влияет dpi мыши в играх
Шел 2018 год. На рынке появляются новые и новые навороченные модели мышек с умопомрачительными DPI 3200, 6400, 12800 и выше....
Adblock detector