Магнитное поле коаксиального кабеля

Магнитное поле коаксиального кабеля

Коаксиальный кабель представляет собой два длинных соосных прово­дящих цилиндра, пространство между которыми заполнено каким-либо изолирующим материалом с магнитной проницаемостью m. Пусть а — радиус внутреннего цилиндра, а b — внешнего. Длина кабеля обычно во много раз превышает его радиус. Поэтому магнитное поле, создава­емое электрическим током в кабеле, будет таким же как у бесконечно длинного кабеля, если не учитывать искажения поля у его концов.

Найдем индуктивность участка кабеля длиной l. Для этого создадим замкнутую электрическую цепь из внутреннего и внешнего цилиндров кабеля и подключим к этой цепи источник постоянной ЭДС (рис. 8.6, а).Токи, создаваемые этой ЭДС, потекут по поверхностям цилиндров вдоль их оси в противоположных направлениях.

В силу цилиндрической симметрии системы силовые линии магнит­ного поля суть семейство окружностей, центры которых лежат на оси симметрии. На рис. 8.6, а изображена одна из силовых линий. Для определения напряженности магнитного поля применим теорему (7.7) о циркуляции вектора Н . В качестве контура интегрирования С выберем силовую линию произвольного радиуса г. Циркуляция вектора напря­женности по такому контуру буд

Hdl= H dl =H dl = Н 2pr. (8.33)

Рис. 8.6. Коаксиальный кабель

Если радиус контура С меньше радиуса внутреннего цилиндра (г 6), сумма токов равна нулю, так как токи в цилиндрах имеют противоположные направления. Поэтому напряженность магнитного поля Я = 0 при г Ь, т.е. магнитное поле внутри малого цилиндра и вне большого отсутствует. Если радиус контура С таков, что а

w = (1/2) mH 2 = (1/2) m I 2 /8p 2 r 2 . (8.35)

Найдем энергию магнитного поля внутри кабеля. Для этого рассмо­трим цилиндрический слой, образованный двумя воображаемыми цилин­драми радиусов r и r + dr (рис. 8.6, б).Если длина слоя равна l, то его объем dV = 2prldr. Так как плотность энергии (8.35) зависит только от г, внутри тонкого цилиндрического слоя она будет всюду одна и та же. Поэтому энергия магнитного поля в слое

Проинтегрировав это выражение по r в пределах от а до b, найдем энер­гию магнитного поля на участке кабеля длиной l:

W = (1/4p) m I 2 l =(1/4p) m I 2 l ln(b/a) (8.36)

С другой стороны, энергию магнитного поля можно определить по формуле (8.26). Приравняем эти выражения и найдем индуктивность участка коаксиального кабеля длиной l:

Взаимная индукция

Рассмотрим два контура с токами I1 и I2 (рис. 8.7), расположенные на некотором расстоянии друг от друга. Ток в первом контуре созда­ет магнитное поле, поток yкоторого через второй контур, очевидно, пропорционален силе тока I2

Аналогично, магнитный поток Ф1 через первый контур поля, создавае­мого током во втором контуре, пропорционален силе тока I2.

Читайте также:  Как настроить часы на телевизоре philips

Коэффициенты пропорциональности L12 и L21 называются взаимной ин­дуктивностью, или коэффициентами взаимной индукции. Они зависят от формы, размеров, взаимного расположения контуров и от магнитной проницаемости среды, в которой находятся контуры.

Рис. 8.7. Взаимная индукция

Рассмотрим простой пример. Пусть на одном цилиндрическом каркасе имеется две обмотки, образующие два соленоида одинаковой длины l(рис. 8.8). Число витков одного соленоида равно N1, а второго — N2. Найдем коэффициенты L12 и L21 для этой системы.

Рис. 8.8. К вычислению коэффициента взаимной индукции

редположим, что в первом соленоиде течет ток I1, а во втором — 12. В силу (7.17) напряженность магнитного поля тока h внутри соленоида

Поток магнитной индукции этого поля через один из витков 2 соленоида

Так как поле внутри соленоида однородно, потоки через все витки оди­наковы. Поэтому потокосцепление

Аналогично, напряженность поля, создаваемого током I2, будет

Поток магнитной индукции этого поля через один из витков первого соленоида

Отсюда найдем, что

Это равенство справедливо для двух любых контуров и составляет со­держание теоремы взаимности.

Вычислим энергию магнитного поля двух соосных соленоидов. Векто­ры напряженности полей, создаваемых токами I1 и I2, внутри соленоидов коллинеарны. Если токи I1 и I2 текут в одном направлении, то векто­ры H1 и Н2 сонаправлены. В этом случае суммарное магнитное поле характеризуется напряженностью:

Если же токи I1 и I2 текут в разных направлениях, то векторы Н1 и H2 направлены противоположно друг другу. При этом модуль напряженно­сти магнитного поля

Энергию однородного магнитного поля найдем по формуле (8.28):

При помощи формул (8.22) и (8.40), запишем это выражение так:

где первое слагаемое есть энергия тока в первом соленоиде, второе -энергия тока во втором, а третье слагаемое называется взаимной энерги­ей. Формула (8.42) справедлива в общем случае для двух произвольных контуров.

Задача. Найти взаимную индуктивность тороидальной катушки и проходящего по ее оси бесконечного прямого провода. Катушка имеет прямоугольное сечение. Внутренний радиус тороида равен а, внешний —b, а его высота — h. Число витков в катушке — N. Магнитная проницае­мость окружающей среды — m.

Последнее изменение этой страницы: 2017-01-25; Нарушение авторского права страницы

Коаксиальный кабель представляет собой два изолированные цилиндрические провода, вложенных один в другой. Внешний провод (оплетка) полый цилиндр, внутренний (жила) — сплошной. Положим, что токи в проводниках равны /, но направлены противоположно друг другу (рис. 4.5, а). Поле вне кабеля отсутствует, так как полный ток, пронизывающий поверхность любого внешнего контура равен нулю. Поле оплетки в ее полости также равно нулю — это было доказано выше. Следовательно, поле между проводниками есть поле, порождаемое током центрального провода. Напряженность этого поля на расстоянии R от оси кабеля согласно (4.10) есть

Читайте также:  Как заблокировать инстаграмм другого человека

Поле внутри центрального провода согласно (4.12) равно

В толще оплетки напряженность поля есть разность между НП и напряженностью поля, порождаемого током противоположного направления, текущим между окружностями с радиусами R и R2:

На рис. 4.5, б показана зависимость напряженности поля от расстояния от оси кабеля.

Рис. 4.5. Поле токов в коаксиальном кабеле

Имеется катушка рис. 4.6, а, у которой тонкий провод с током / аккуратно намотан на кольцевой каркас (сердечник) с равномерной плотностью витков N (постоянным числом витков N

Рис. 4.6. Кольцевая катушка (а) и соленоид (б)

на единицу длины каркаса). Обозначим число витков провода через w и рассмотрим три контура в виде концентрических окружностей с общим центром в точке О. Полный ток через поверхность, ограниченную любым контуром с радиусом, меньшим Л, или большим R3, равен нулю, поэтому магнитное поле вне каркаса и провода катушки отсутствует (для контура радиусом Rl ситуация подобна полости заряженного цилиндрического проводника). Поле оказывается сосредоточенным в пределах каркаса катушки. Поверхность внутри контура радиусом R2 ток / пересекает w раз в одном и том же направлении. Этот контур совпадает с силовой линией, и по закону полного тока напряженность поля вдоль него равна

Выразим общее число витков катушки через плотность намотки (число витков на единицу длины каркаса):

где Rq = (R <+ R3)/2, и обозначим радиус витка через г. Максимальная напряженность будет внутри каркаса на расстоянии Rl = Rqг от центра О, а минимальная — на расстоянии R3 = Ry + г от О. Разность между ними составит:

Из (4.13) следует, что с ростом Rq разность АН уменьшается, то есть поле по поперечному сечению каркаса становится все более равномерным и равным:

где / = 2nR() длина окружности катушки.

Другой распространенный тип катушки наматывается на прямом каркасе (сердечнике). Катушку этого типа называют иногда соленоид (рис. 4.6, б). Положим, что катушка очень длинная, и ее можно рассматривать как результат спрямления кольцевой катушки очень большого радиуса. По мере роста Rq значение АН согласно (4.13) уменьшается, а среднее значение напряженности между крайними контурами внутри каркаса

будет приближаться к

Таким образом, формула (4.14) дает значение напряженности и в кольцевой катушке большого радиуса, и внутри бесконечно длинного соленоида. Силовые линии поля будут вытянуты вдоль катушки, но в реальном соленоиде поле вблизи концов соленоида неоднородно по сечению и силовые линии расходятся (рис. 4.2, б). Напряженность поля в точке на оси реального соленоида составляет (рис. 4.6, б):

Читайте также:  Домашний интернет tp link

Снаружи длинного соленоида поле практически равно нулю, и разреженные силовые линии замыкаются на большом расстоянии от оси катушки. Понятно, что для вычисления индукции в соленоиде необходимо использовать формулу (4.8) и кроме напряженности поля учесть намагниченность материала сердечника.

По кабелю замыкается ток I. Рассчитать поле и индуктивность коаксиального кабеля.

Снаружи кабеля поле отсутствует, так как I = 0.

Таким образом, можно выделить три различные области с магнитными проницаемостями 1, 2, 3.

Для расчета поля используем закон полного тока: =I.

1. Область I – 0 2 /r1 2 , то магнитное потокосцепление d = dФ·.

Внутренняя индуктивность первой области вычисляется по формуле

l1 ===·=·=

и, как видим, не зависит от радиуса жилы.

2. Область II – r1 о друг к другу.

Вектор Пойтинга:.

По­ток вектора Пойтинга через поперечное сечение диэлектрика:

.

Вывод: поток вектора Пойтинга через поперечное сечение диэлектрика равен переда­ваемой мощности Р, т. е. энергия от источника к приемнику передается электромагнит­ным полем, сосредоточенным в диэлектрике между жилой и оболочкой.

Рассмотрим режим точки 2, расположенной на наружной поверхности жилы.

Плотность тока в жиле кабеля: .

Составляющая напряженности электрического поля по оси z: .

Напряженность магнитного поля: .

Векторы поля инаправлены под углом в 90 о друг к другу.

Радиальная составляющая вектора Пойтинга: .

Поток вектора Пойтинга через боковую поверхность внутренней жилы:

.

Вывод: поток вектора Пойтинга через наружную поверхность жилы направлен внутрь провода и равен мощности тепловых потерь в жиле .

4.6. Магнитное поле и индуктивность двухпроводной линии

Результирующий вектор магнитной индукции в произвольной точкеn можно определить по методу наложения как геометрическую сумму

составляющих этого вектора иот каждого провода в отдельности:

=+. Составляющие вектораиопределяются по полученным ранее формулам, а их направления – по правилу правоходового винта:

, .

Индуктивность линии равна L = 2(Lвн+ Lсн). Для определения индуктивности проводника найдем величину тока через сечение радиусом r

и соответственно, по закону полного тока напряженность магнитного поля

И внутренняя индуктивность проводника .

Определим потокосцепление между проводниками

Тогда

Таким образом, индуктивность двухпроводной линии равна

[ Гн / м ]

Индуктивность трехфазной линии на одну фазу.

В схемах замещения трехфазных линий электропередачи учитывается индуктивность одного провода (фазы), следовательно:

[Гн / м] – индуктивность каждого провода (фазы) трехфазной транспонированной ЛЭП на единицу длины, где – среднегеометрическое значение межосевых расстояний проводов.

Ссылка на основную публикацию
Левая реклама в браузере как убрать
Надоела постоянно выскакивающая реклама на всех сайтах, и вы хотите от неё избавиться? Не имеет значения, где она появилась: в...
Компьютерное моделирование в excel
рассмотрение этапов информационного моделирования на примере решения конкретных задач; закрепление навыков работы в MS Excel; установление межпредметных связей: информатики и...
Компьютерные сокращения в английском языке
Молодёжный компьютерный сленг – источник большого количества запросов в поисковых системах Интернета, производимых людьми, столкнувшимися в интернете с непонятным словом,...
Легенда о зельде вики
Journey to the kingdom of Hyrule and discover the timeless battles between good and evil and the secrets of the...
Adblock detector