Какой базис называется ортонормированным

Какой базис называется ортонормированным

ортонормированный базис — — [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] Тематики электросвязь, основные понятия EN orthonormal basis … Справочник технического переводчика

БАЗИС — множества X минимальное порождающее его подмножество В. Порождение означает, что применением операций нек рого класса к элементам получается любой элемент Это понятие связано с понятием зависимости: элементы Xпосредством операций из ставятся в… … Математическая энциклопедия

Ортогональный базис — Ортогональный (ортонормированный) базис ортогональная (ортонормированная) система элементов линейного пространства со скалярным произведением, обладающая свойством полноты. Содержание 1 Конечномерный случай 2 … Википедия

ОРТОГОНАЛЬНЫЙ БАЗИС — система попарно ортогональных элементов е 1, е 2, . е п, . гильбертова пространства Xтакая, что любой элемент однозначно представим в виде сходящегося по норме ряда наз. рядом Фурье элемента хпо системе <е i>. Обычно базис < е i>выбирается… … Математическая энциклопедия

Метод главных компонент — (англ. Principal component analysis, PCA) один из основных способов уменьшить размерность данных, потеряв наименьшее количество информации. Изобретен К. Пирсоном (англ. Karl Pearson) в 1901 г. Применяется во многих областях,… … Википедия

Истинное ортогональное разложение — Метод Главных Компонент (англ. Principal components analysis, PCA) один из основных способов уменьшить размерность данных, потеряв наименьшее количество информации. Изобретен К. Пирсоном (англ. Karl Pearson) в 1901 г. Применяется во многих… … Википедия

Метод Главных Компонент — (англ. Principal components analysis, PCA) один из основных способов уменьшить размерность данных, потеряв наименьшее количество информации. Изобретен К. Пирсоном (англ. Karl Pearson) в 1901 г. Применяется во многих областях, таких как… … Википедия

Преобразование Карунена-Лоэва — Метод Главных Компонент (англ. Principal components analysis, PCA) один из основных способов уменьшить размерность данных, потеряв наименьшее количество информации. Изобретен К. Пирсоном (англ. Karl Pearson) в 1901 г. Применяется во многих… … Википедия

Преобразование Кархунена-Лоэва — Метод Главных Компонент (англ. Principal components analysis, PCA) один из основных способов уменьшить размерность данных, потеряв наименьшее количество информации. Изобретен К. Пирсоном (англ. Karl Pearson) в 1901 г. Применяется во многих… … Википедия

Читайте также:  Легенда графика в excel

Преобразование Карунена — Лоэва — Метод Главных Компонент (англ. Principal components analysis, PCA) один из основных способов уменьшить размерность данных, потеряв наименьшее количество информации. Изобретен К. Пирсоном (англ. Karl Pearson) в 1901 г. Применяется во многих… … Википедия

Ортонормированная система, состоящая из n векторов n-мерного евклидова пространства, образует базис этого пространства. Такой базис называется ортонормированным базисом.

Если e1, e2, ..en — ортонормированный базис n-мерного евклидова пространства и

x = x1e1 + x2e2 + .+xnen — разложение вектора x по этому базису, то координаты xi вектора x в ортонормированном базисе вычисляются по формулам xi =(x, ei), i = 1, 2, ..n.

Пространство n-мерных арифметических векторов Rn с естественным скалярным произведением (x,y) = x1·y1+ x2·y2 + .+xn·yn − n-мерное евклидово пространство.

Векторы e1= (1, 0, 0. 0, 0), e2= (0, 1, 0. 0, 0), ..en-1= (0, 0, 0. 1, 0), en= (0, 0, 0. 0, 1),

образуют ортонормированный базис пространства Rn.

Определение. Базис называется ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и равны единице.

Определение. Декартова система координат, базис которой ортонормирован называется декартовой прямоугольной системой координат.

Пример. Даны векторы (1; 2; 3), (-1; 0; 3), (2; 1; -1) и (3; 2; 2) в некотором базисе. Показать, что векторы, и образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

Векторы образуют базис, если они линейно независимы, другими словами, если уравнения, входящие в систему:

линейно независимы.
Тогда .
Это условие выполняется, если определитель матрицы системы отличен от нуля.

Для решения этой системы воспользуемся методом Крамера.

Итого, координаты вектора в базисе , ,: < -1/4, 7/4, 5/2>.

Длина вектора в координатах определяется как расстояние между точками начала и конца вектора. Если заданы две точки в пространстве А (х1, y1, z1), B(x2, y2, z2), то .

Читайте также:  Установка модуля условного доступа триколор

Если точка М (х, у, z) делит отрезок АВ в соотношении l/m, считая от А, то координаты этой точки определяются как:

В частном случае координаты середины отрезка находятся как:

x = (x1 + x2)/2; y = (y1 + y2)/2; z = (z1 + z2)/2.

Базис ei, ег, . еп евклидова пространства Е называют ортогональным базисом, если его векторы попарно ортогональны. Если, кроме того, векторы этого базиса имеют единичную длину (т.е. нормированы), то он называется ортонормированным базисом. В ортонормированном базисе ei, ег, . еп выполняются условия

Теорема 8.3. В любом конечномерном евклидовом пространстве Е существуют ортогональные и ортонормированные базисы. При этом любой вектор в Е входит в состав какого-либо ортогонального базиса, а любой единичный вектор в состав какого-либо ортонормированного базиса.

> Чтобы получить ортогональный базис, достаточно применить процесс ортогонализации к какой-либо максимальной линейно независимой системе векторов в Е. Поскольку любой вектор евклидова пространства можно взять в качестве первого вектора максимальной линейно независимой системы векторов, заключаем, что этот вектор входит в какой-либо ортогональный базис, так как в процессе ортогонализации первый вектор исходной (ортогонализируемой) системы не изменяется. Если выбран единичный вектор, то он будет входить в состав ортогонального базиса. Нормировка этого базиса не изменяет единичные векторы. Значит, любой единичный вектор входит в состав того или иного ортонормированного базиса. ?

Примеры построения ортонормированных базисов с помощью процесса ортогонализации приведены выше (см. примеры 8.5 и 8.6). Ортогональные (ортонормированные) базисы можно также строить, дополняя подходящими векторами данный вектор или данную ортогональную (ортонормированную) систему векторов.

Пример 8.7. В трехмерном арифметическом пространстве К3 со скалярным произведением

построить ортонормированный базис, содержащий вектор е = (1,1,

Решение. Добавим к вектору е вектор в2 = (г/i, У2, Уз) Т , удовлетворяющий условию (e-i, е-2) = 0, которое в координатах имеет вид У + У2 + Уз = 6. Одним из решений этого уравнения является вектор С2 ='(2,-1,-1) т .

Читайте также:  Приложение для скачивания фото с инстаграмма

Далее, к векторам е, и То добавим вектор ез = (z,, то, удо-

влетворяющий условиям (e3,ei) = 0, (ез,в2) = 0, которые в координатной форме имеют вид z + + z3 = 0, 2 z — Z2 — z3 = 0. Решая

однородную систему из этих двух уравнений, получим, например, решение ез = (0, —1,1) т . система векторов е, ег, ез является одним из ортогональных базисов в К3. Нормируя эти векторы, получим в К3 ортонормированный базис

Теорема 8Д • В любом ортонормированием базисе е п-мерно- го евклидова пространства Е скалярное произведение векторов х =

= (ж1,Ж2. хп) т и у = (2/1,2/2» • ••,Уп) Т , заданных координатами в этом базисе, определяется формулой

Наоборот, если в базисе е скалярное произведение определяется формулой (8.13), то этот базис ортонормированный.

> Пусть базис е = (ei, б2,еп) ортонормированный. Тогда выполняются равенства (8.12). Поэтому матрицей Грама базиса е является матрица

а скалярное произведение вычисляется по формуле

Наоборот, если скалярное произведение в данном базисе Е евклидова пространства вычисляется по формуле (8.13), то легко убедиться в том, что скалярные произведения базисных векторов удовлетворяют условию (8.12). А это означает, что базис е нормированный. ?

Следствие 8.1. В п-мерном линейном пространстве X с заданным базисом е можно задать скалярное произведение так, что заданный базис будет ортонормированным.

> Достаточно определить скалярное произведение через координаты векторов в базисе е формулой (8.13). Тогда по доказанной теореме базис е будет ортонормированным. ?

Ссылка на основную публикацию
Как установить тв каналы на компьютер
Добрый день, друзья. Сейчас уже наступил век цифрового вещания, и всё больше ТВ каналов, заточенных под аналоговый план, уходят в...
Как узнать нумерацию поезда
Многие люди предпочитают путешествовать на поезде. Это удобный и доступный способ передвижения, особенно на короткие расстояния. Подвижной состав российских железных...
Как узнать открытый порт компьютера
PortScaner.ru Port Checker - это бесплатный онлайн инструмент, чтобы найти открытые порты в вашей системе или на удаленном сервере. Этот...
Как установить текстуру в фотошоп
В этом уроке Фотошопа рассматриваем, как устанавливать новые узоры (patterns). Версия Photoshop: Photoshop CC (2017) Сложность: Низкая Дата: 08.02.2012 Обновлено:...
Adblock detector