Как определить точки перегиба функции

Как определить точки перегиба функции

Направление выпуклости графика функции. Точки перегиба

Определение : Кривая y=f(x) называется выпуклой вверх в промежутке (a; b), если она лежит ниже касательной в любой точке этого промежутка.

Определение : Промежутки, в которых график функции обращен выпуклостью вверх или вниз, называются промежутками выпуклости графика функции.

Выпуклость вниз или вверх кривой, являющейся графиком функции y=f(x) , характеризуется знаком ее второй производной: если в некотором промежутке f’’(x) > 0, то кривая выпукла вниз на этом промежутке; если же f’’(x) Определение: Точка графика функции y=f(x) , разделяющая промежутки выпуклости противоположных направлений этого графика, называется точкой перегиба.

Точками перегиба могут служить только критические точки II рода, т.е. точки, принадлежащие области определения функции y = f(x) , в которых вторая производная f’’(x) обращается в нуль или терпит разрыв.

Правило нахождения точек перегиба графика функции y = f(x)

  1. Найти вторую производную f’’(x) .
  2. Найти критические точки II рода функции y=f(x) , т.е. точки, в которой f’’(x) обращается в нуль или терпит разрыв.
  3. Исследовать знак второй производной f’’(x) в промежутка, на которые найденные критические точки делят область определения функции f(x) . Если при этом критическая точка x разделяет промежутки выпуклости противоположных направлений, то x является абсциссой точки перегиба графика функции.
  4. Вычислить значения функции в точках перегиба.

Пример 1 . Найти промежутки выпуклости и точки перегиба следующей кривой: f(x) = 6x 2 –x 3 .
Решение: Находим f ‘(x) = 12x – 3x 2 , f ‘’(x) = 12 – 6x.
Найдем критические точки по второй производной, решив уравнение 12-6x=0 . x=2 .

f(2) = 6*2 2 – 2 3 = 16
Ответ: Функция выпукла вверх при x∈(2; +∞) ; функция выпукла вниз при x∈(-∞; 2) ; точка перегиба (2;16) .

Пример 2 . Имеет ли точки перегиба функция: f(x)=x 3 -6x 2 +2x-1

Пример 3 . Найти промежутки, на которых график функции является выпуклым и выгнутым: f(x)=x 3 -6x 2 +12x+4

Читайте также:  Телевизор hisense h50n5300 отзывы

В задачах на исследование функции в одном из пунктов предлагается найти точки перегиба графика функции. Как это решить? Необходимо понимать, что такое точка перегиба по определению и её признаки.

Точка перегиба функции — это точка, в которой график функции изменяет свою выпуклость или вогнутость

Как найти?

  1. Найти вторую производную функции $ y»(x) $
  2. Найти точки $ x_0 $, в которых вторая производная равна нулю, имеет разрыв, или не существует
  3. Исследовать каждую найденную точку $ x_0 $ на перегиб, с помощью третьей производной $ y»'(x) $

Как проверить является ли найденная точка $ x_0 $ перегибом? Необходимо найти третью производную $ y»'(x) %$$. Если $ y»'(x_0) $ ≠ $ 0 $, то исследуемая точка — это точка перегиба.

Примеры решений

Найдем первую производную, заданной функции:

$$ y’ = (2x^4 — 6x^2 + 1)’ = 8x^3 — 12x $$

Теперь получим вторую производную:

$$ y» = (y’)’ = (8x^3 — 12x)’ = 24x^2 — 12 $$

Приравниваем к нулю $ y» = 0 $ и решаем уравнение:

Найдем третью производную и вычислим её значения в точках $ x_1 $ и $ x_2 $:

Так как $ y»'(x_1) $ и $ y»'(x_2) $ не равны нулю, то точки $ x_1 $ и $ x_2 $ соответственно точки перегиба функции.

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Пример 1
Найти точки перегиба графика функции: $ y = 2x^4-6x^2+1 $
Решение
Ответ

Найдем производные до третьего порядка фунции, указанной в условии к задаче:

$$ y'(x) = (cos x)’ = — sin x $$ $$ y»(x) = (-sin x)’ = -cos x $$ $$ y»'(x) = (-cos x)’ = sin x $$

Вычислим значения $ y»(x_0) ext < и >y»'(x_0) $:

Так как $ y»(frac<pi><2>) = 0 $, а $ y»'(frac<pi><2>)
eq 0 $, то делаем вывод, что точка $ x_0 = frac<pi> <2>$ является точкой перегиба для функции $ y = cos x $

В некоторых случаях, чтобы построить график функции более точно, бывает необходимо найти точки перегибы и промежутки выпуклости и вогнутости графика.

Функция называется выпуклой вверх (вниз) в точке , если ее график в некоторой окрестности точки лежит ниже (выше) касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой, равной .

Выпуклую вниз функцию также называют вогнутой.

Пример функции, выпуклой вниз (вогнутой):

Пример функции, выпуклой вверх (или просто выпуклой):

При определении промежутков выпуклости и вогнутости мы используем следующую теорему:

Пусть функция определена на интервале и имеет непрерывную, не равную нулю в точке вторую производную. Тогда, если 0" title="f^<>(x)>0"/> всюду на интервале , то функция имеет вогнутость на этом интервале, если , то функция имеет выпуклость.

Точки, которые разделяют промежутки выпуклости и вогнутости называются точками перегиба функции.

Схема исследования функции на выпуклость, вогнутость:

1. Находим вторую производную функции (это производная от первой производной).

2. Находим точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует.

3. Исследуем знаки второй производной справа и слева от найденных точек.

Для примера исследуем на выпуклость, вогнутость функцию

1. Найдем первую производную функции :

2. Найдем вторую производную функции .

3. Найдем нули второй производной:

— точка перегиба.

Найдем знаки второй производной и определим промежутки выпуклости, вогнутости функции:

График нашей функции выглядит так:

Мы видим, что слева от точки функция выпуклая (если представить, что мы "поливаем" график водой, то она с него скатывается — неспроста на этом промежутке вторая производная отрицательная).

Справа от точки функция вогнутая. (На этом промежутке вода как бы накапливается — здесь вторая производная больше нуля)

Пример 2
Узнать, является ли для графика функции $ y = cos x $ точка $ x_0 = frac<pi> <2>$ точкой перегиба
Решение
Ссылка на основную публикацию
Как обрезать видео на андроиде без программ
Автор: Юрий Белоусов · Опубликовано 06.01.2017 · Обновлено 13.04.2017 Андроид приложение для обрезки видео на телефоне Заниматься обработкой видео и...
Как наклеить бронестекло на телефон видео
На сегодняшний день нет ни одного человека, который не знает, что такое телефон и для чего он служит. Более того,...
Как наклеить стекло на смартфон самсунг
Покупка новой техники — это всегда очень волнующий и радостный момент. Когда мы берем в руки свой новенький смартфон, то...
Как обрезать защитное стекло для смартфона
«MyTooling.ru» – информационный портал, предоставляющий полную информацию о всех инструментах от А до Я, с которым действительно приятно работать! Наверное,...
Adblock detector