Как найти апофему правильной четырехугольной пирамиды

Как найти апофему правильной четырехугольной пирамиды

Свойства

Периметр основания правильной пирамиды равен произведению длины стороны основания на их удвоенное количество, а площадь – отношению количества сторон, умноженных на квадрат стороны, к четырем тангенсам угла из 180 градусов, деленных на количество сторон в основании. P=n(a+b) S=(na^2)/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 )

Радиус окружности, вписанной в правильный многоугольник, являющимся основанием правильной пирамиды, равен отношению стороны к двум тангенсам того же угла, а радиус окружности, описанной вокруг такого многоугольника, — отношению стороны к двум синусам. (рис.34.1,34.2) r=a/(2 tan⁡〖(180°)/n〗 ) R=a/(2 sin⁡〖(180°)/n〗 )

Чтобы найти внутренний угол многоугольника в основании правильной пирамиды, нужно умножить 180 градусов на отношение разности количества сторон и двух единиц к самому количеству сторон такого многоугольника. (рис.34.3) γ=180°(n-2)/n

Зная апофему и сторону основания правильной пирамиды, можно найти боковое ребро и высоту пирамиды из прямоугольных треугольников, образованных ими, через теорему Пифагора. (рис.34.4, 35.1) h=√(l^2-r^2 )=√(l^2-(a/(2 tan⁡〖(180°)/n〗 ))^2 ) b=√(l^2+a^2/4)

Угол между апофемой и основанием легко вычислить, найдя его косинус, который равен отношению радиуса вписанной в основание окружности к апофеме, и воспользовавшись таблицами Брадиса. Угол между боковым ребром и основанием находится аналогично через косинус, как отношение радиуса окружности, описанной вокруг основания, к боковому ребру. (рис.34.4, 34.5) cos⁡α=R/b=a/(2 sin⁡〖(180°)/n〗 √(l^2+a^2/4)) cos⁡β=r/l=a/(2l tan⁡〖(180°)/n〗 )

Чтобы найти площадь боковой поверхности пирамиды через апофему и сторону основания, необходимо сначала найти площадь одной ее грани-треугольника, и затем умножить ее на количество граней – сторон в основании. Площадь полной поверхности пирамиды будет равна сумме площади боковой поверхности и площади основания. S_(б.п.)=lan/2 S_(п.п.)=an(l/2+a/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 ))

Объем правильной пирамиды равен произведению площади основания на высоту, деленному на три. Подставив необходимое выражение вместо площади основания и высоты, получим форму объема пирамиды через апофему и сторону основания. V=1/3 S_(осн.) h=(na^2 √(l^2-(a/(2 tan⁡〖(180°)/n〗 ))^2 ))/(12 tan⁡〖(180°)/n〗 )

Чтобы вписать в правильную пирамиду сферу, ее радиус должен быть равен трем объемам, деленным на площадь полной поверхности пирамиды, а чтобы описать такую же сферу вокруг пирамиды, нужно чтобы ее радиус совпадал с отношением квадрата бокового ребра к двум высотам такой пирамиды. (рис.34.6, 34.7) r_1=3V/S_(п.п.) =(na^2 √(l^2-(a/(2 tan⁡〖(180°)/n〗 ))^2 ))/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 (2l+a/tan⁡〖(180°)/n〗 ) ) R_1=b^2/2h=(4l^2+a^2)/(8√(l^2-(a/(2 tan⁡〖(180°)/n〗 ))^2 ))

Читайте также:  Тормозит скроллинг в сафари

Для успешного решения задач по геометрии необходимо четко понимать термины, которые использует эта наука. Например, таковыми являются "прямая", "плоскость", "многогранник", "пирамида" и многие другие. В данной статье ответим на вопрос, что такое апофема.

Двоякое использование термина "апофема"

В геометрии значение слова "апофема" или "апотема", как ее еще называют, зависит от того, к какому объекту ее применяют. Существует два принципиально разных класса фигур, в которых она является одной из их характеристик.

В первую очередь это плоские многоугольники. Что такое апофема для многоугольника? Это высота, проведенная из геометрического центра фигуры к любой из ее сторон.

Чтобы было понятнее, о чем идет речь, рассмотрим конкретный пример. Предположим, что имеется правильный шестиугольник, показанный ниже на рисунке.

Символом l обозначена длина его стороны, буквой a — апофема. Для отмеченного треугольника она является не только высотой, но и биссектрисой, и медианой. Несложно показать, что через сторону l ее можно вычислить так:

Аналогичным образом апофема определяется для любого n-угольника.

Во вторую очередь — это пирамиды. Что такое апофема для такой фигуры? Этот вопрос требует более детального рассмотрения.

Пирамиды и их апофемы

Для начала дадим определение пирамиде с точки зрения геометрии. Эта фигура представляет собой объемное тело, образованное одним n-угольником (основание) и n треугольниками (боковые стороны). Последние соединены в одной точке, которая называется вершиной. Расстояние от нее до основания — это высота фигуры. Если она попадает на геометрический центр n-угольника, то пирамида называется прямой. Если к тому же n-угольник имеет равные углы и стороны, то фигура называется правильной. Ниже показан пример пирамиды.

Что такое апофема для такой фигуры? Это перпендикуляр, который соединяет стороны n-угольника с вершиной фигуры. Очевидно, что она представляет собой высоту треугольника, являющегося боковой стороной пирамиды.

Апофему удобно использовать при решении геометрических задач с правильными пирамидами. Дело в том, что для них все боковые грани являются равными друг другу равнобедренными треугольниками. Последний факт означает, что все n апофем равны, поэтому для правильной пирамиды можно говорить об одной-единственной такой прямой.

Читайте также:  Ошибка изменения свойства битрикс

Апофема четырехугольной пирамиды правильной

Пожалуй, самым наглядным примером этой фигуры будет знаменитое первое чудо света — пирамида Хеопса. Она находится в Египте.

Для любой такой фигуры с правильным n-угольным основанием можно привести формулы, позволяющие определить ее апофему через длину a стороны многоугольника, через боковое ребро b и высоту h. Здесь запишем соответствующие формулы для прямой пирамиды с квадратным основанием. Апофема hb для нее будет равна:

Первое из этих выражений справедливо для любой правильной пирамиды, второе — только для четырехугольной.

Покажем, как эти формулы можно использовать для решения задачи.

Геометрическая задача

Пусть задана прямая пирамида, имеющая квадратное основание. Необходимо рассчитать ее основания площадь. Апофема пирамиды равна 16 см, а ее высота в 2 раза больше стороны основания.

Каждый школьник знает: чтобы найти площадь квадрата, которым является основание рассматриваемой пирамиды, следует знать его сторону a. Для ее нахождения воспользуемся следующей формулой для апофемы:

Значение апофемы известно из условия задачи. Поскольку высота h в два раза больше длины стороны a, это выражение можно преобразовать следующим образом:

Площадь квадрата равна произведению его сторон. Подставляя полученное выражение для a, имеем:

Остается подставить в формулу значение апофемы из условия задачи и записать ответ: S ≈ 60,2 см 2 .

Пирамида — это многогранник, у которого одна грань — основание пирамиды — произвольный многоугольник, а остальные — боковые грани — треугольники с общей вершиной, называемой вершиной пирамиды.

По числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырёхугольные и т. д. Пирамида является частным случаем конуса.

Воспользуйтесь онлайн калькулятором для расчета объема пирамиды: объем пирамиды, онлайн расчет.

Для расчета объемов других тел воспользуйтесь этим калькулятором: калькулятор объемов фигур.

Элементы пирамиды.

  • апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины (также апофемой называют длину перпендикуляра, опущенного из середины правильного многоугольника на одну из его сторон);
  • боковые грани — треугольники, сходящиеся в вершине;
  • боковые ребра — общие стороны боковых граней;
  • вершина пирамиды — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания;
  • высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра);
  • диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания;
  • основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.
Читайте также:  Ввод двумерного массива python

Вспомогательные формулы.

1. Боковая поверхность — это сумма площадей боковых граней:

2. Полная поверхность — это сумма площади боковой поверхности и площади основания:

3. Боковая поверхность — это сумма площадей боковых граней:

P — периметр основания,

n — число сторон основания,

b — боковое ребро,

α — плоский угол при вершине пирамиды.

Общая формула, по которой можно найти объем пирамиды.

Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания S (ABCDE) на высоту h (OS)

, где

S – площадь основания пирамиды,

h – высота пирамиды

— объём параллелепипеда;

Правильная пирамида.

Правильная пирамида — пирамида, в основании, которой лежит правильный многоугольник, а высота проходит через центр вписанной окружности в основание.

Формула для вычисления объема правильной пирамиды:

h — высота пирамиды

a — сторона основания пирамиды

n — количество сторон многоугольника в основании

Правильная треугольная пирамида.

Правильная треугольная пирамида — пирамида, у которой основанием является равносторонний треугольник и грани равные равнобедренные треугольники.

Формула для нахождения объема правильной треугольной пирамиды:

h — высота пирамиды

a — сторона основания пирамиды

Правильная четырехугольная пирамида.

Правильная четырехугольная пирамида — пирамида, у которой основанием является квадрат и грани равные равнобедренные треугольники.

Формула для определения объема правильной четырехугольной пирамиды:

h — высота пирамиды

a — сторона основания пирамиды

Тетраэдр.

Тетраэдр — пирамида, у которой все грани — равносторонние треугольники.

Формулы для вычисления объема тетраэдра:

a — ребро тетраэдра

— скрещивающиеся рёбра, — расстояние между a1 и a2, — угол между a1 и a2;

Усеченная пирамида.

Сечение параллельное основанию пирамиды делит пирамиду на две части. Часть пирамиды между ее основанием и этим сечением — это усеченная пирамида.

Объем усеченной пирамиды равен одной трети произведения высоты h (OS) на сумму площадей верхнего основания S1 (abcde), нижнего основания усеченной пирамиды S2 (ABCDE) и средней пропорциональной между ними.

S1 — площадь верхнего основания усеченной пирамиды,

S2 — площадь нижнего основания усеченной пирамиды,

Ссылка на основную публикацию
Как изменить оси в автокаде
СПДС для Автокад 2014 (и др. версий) позволяет существенно упростить работу проектировщиков. В этом легко убедиться, если ознакомиться с моим...
Как зайти на канал в дискорде
На самом деле вопрос о том, как найти группу в Дискорде, не лишен смысла. Тем более, что штатных инструментов для...
Как извлечь файлы из игры
Движок Ren’Py является одним из самых популярных у создателей визуальных новелл из-за своей простоты и бесплатности. Некоторые разработчики сжимают свои...
Как назвать папку в телефоне
Избавляемся от хаоса на экране Текст: Родион Данилов Сколько приложений установлено на вашем iPhone — пятьдесят или даже сто? За...
Adblock detector