Эллипс вписанный в окружность

Эллипс вписанный в окружность

Заданы два эллипса размерами своих осей. Необходимо вписать эллипс е2 в эллипс е 1 (рис. 28.5), т.е. определить положение е2 при его касании эллипса е1 в двух точках.

Прямое применение геометрической зависимости касательное™ не позволяет решить задачу, поскольку для нее не предусмотрено задание двойного касания объектов. Поэтому реализуем алгоритм, в котором касание осуществляется через отрезки-посредники. Пусть эллипс е2 расположен внутри е1:

  • ? строим эллипс е 1 и прикладываем к нему фиксацию как к объекту. Внутри эллипса е1 строим эллипс е2 произвольных размеров;
  • ? строим отрезки t1, t2. Присваиваем им зависимости касательное™ и совпадения конечных точек с е1. Перемещением отрезков проверяем, что они обкатываются вокруг эллипса е1, сохраняя свойство касания;

U строим такие же отрезки t3, t4 для эллипса е2. Прикладываем зависимости совпадения точек касания 1 и 3, а также точек 2 и 4;

L) прикладываем зависимость коллинеарности (принадлежность одной прямой) к касательным отрезкам t1 и t3 и отрезкам t2 и t4. В итоге эллипс е2 стал касаться е1 в точках А, В;

? для придания эллипсу е2 требуемых размеров строим две окружности с1, с2, одну из них снаружи е2, вторую внутри е2. Присваиваем этим ок-

Рис. 28.5. Эллипс, вписанный в эллипс

ружностям концентричность с эллипсом е2 и касателыюсть к нему. Присваиваем окружностям размерные зависимости диаметров d1 и d2. Изменение значений d1y d2 приводит к изменению размеров эллипса е2.

Перемещая отрезки касательных, можно убедиться, что задача имеет множество решений. Для однозначности решения могут быть заданы дополнительные требования в задаче. Например, потребовать, чтобы эллипс е2 проходил через заданную точку. Сложнее (попробуйте) решить задачу, задав требуемый угол между осями эллипсов. Мы зададим размерную зависимость угла ang между касательными — это приводит к единственному решению задачи.

? Задайте размерную зависимость ang и окончательно тестируйте модель. При изменении d1, d2 происходит изменение размеров эллипса е2. При изменении угла ang — вращение и перемещение эллипса е2 внутри е1.

Читайте также:  Отслеживание авиарейсов в реальном времени на русском

Значительно проще частный случай задачи, если эллипсы имеют общий центр. Достаточно задать совмещение центральных точек эллипсов и их каса- тельность. Для управления размерами и положением е2 следует так же, как и в общем примере, ввести две окружности, касательные к эллипсу, и приложить к окружностям размерные зависимости диаметров.

  1. Эллипс. Геометрическое и аналитическое определение. Их эквивалентность

Определение (геометрическое).Эллипс – геометрическое место точек на плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек и , называемых фокусами, равна заданному числу 2а.

  • Расстояния от Х до F1 (назовем его r1) и от Х до F2 (назовем его r2) называются фокальными радиусами. .
  • Расстояниемежду фокусами эллипса называется фокусным расстоянием. Эту величину принято обозначать 2с. .

При этом из треугольника F1ХF2 можно увидеть, что .

В случае получаем отрезок, а в случае — окружность

  • Введем на данной плоскостисистему координат, которая будет называться канонической для эллипса.
  • Каноническое уравнение эллипса:, где

Определение (аналитическое). Эллипс – кривая второго порядка, задаваемая в некоторой прямоугольной системе координат уравнением , где .

  • Наибольшее из чисел а и b называют большой полуосью эллипса,меньшее— малой полуосью эллипса.
  • Эллипс проходит через точки , которые называются вершинами эллипса.
  • Эллипс заключен в прямоугольник , который называется основным прямоугольником эллипса.

При построении эллипса строим основной прямоугольник эллипса и вписываем эллипс в него.

  • Отношение называется эксцентриситетом эллипса.
  • Директрисами эллипса называются две прямые, уравнения которых в канонической для эллипса системе координат имеют вид . Так как .
  • Расстояниемежду директрисами равно .

Отсюда следует еще одно определение эллипса:

Определение (через директрису).Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для которых отношениерасстояния до фиксированной точки плоскости, называемой фокусом, к расстоянию до фиксированной прямой, называемой директрисой, есть величина постоянная, меньшая единицы, и называемая его эксцентриситетом:

!Параллельный перенос эллипса:

Уравнение задаёт эллипс с большой полуосью «а», малой полуосью «бэ» и центром симметрии в точке .

Читайте также:  Сушильная машина edc 3250

  1. Окружность как частный случай эллипса. Полуокружность

+полуэллипс. Пересечение окружностей

Эллипс при a=b превращается в окружность, оба фокуса срастаются с центром, эксцентриситет обнуляется, а директрисы вырождаются.

Если из уравнения окружности (эллипса) выразить одну из переменных, получится два корня, каждый из которых задает верхнюю/нижнюю/правую/левую полуокружность (полуэллипс).

Из планиметрии: при касании двух окружностей (внешним или внутренним образом) точка касания лежит на прямой, соединяющей центры этих окружностей. При этом расстояние между центрами равно сумме радиусов окружностей в ситуации внешнего касания и разности радиусов в ситуации внутреннего касания.

Фигура Уравнение с Фокусы Эксцентриситет Директрисы
Парабола
Гипербола
Эллипс
Окружность

Общее свойство для кривых второго порядка:

Отношениерасстоянияот точки кривой второго порядка (отличной от окружности) до фиксированной точки плоскости, называемой фокусом, к расстоянию до фиксированной прямой, называемой директрисой (ближайшей, если их две), есть величина постоянная и равнаяэксцентриситету.

  1. Длина окружности, площадь круга и эллипса
    • Длина дуги равна произведению радиуса окружности на радианную меру дуги:
    • Длина окружности равна произведению радиуса окружности на :
    • Площадь круга равна произведению квадрата радиуса окружности на число : .
    • Площадь сектора равна половине произведения квадрата радиуса окружности на радианную меру дуги: .
    • Площадь сегмента равна половине произведения квадрата радиуса окружности на разность радианной меры дуги с её синусом: .
    • Площадь эллипса с большой полуосьюа и малой полуосью b равна:

    Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ — конструкции, предназначен­ные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой.

    Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰).

    Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого.

    Определение. Эллипс — это геометрическая фигура, которая ограничена кривой, заданной уравнением .

    Он имеет два фокуса. Фокусами называются такие две точки, сумма расстояний от которых до любой точки эллипса есть постоянная величина.

    Читайте также:  Впитывающей чернила подкладки принтера заканчивается epson l210

    Чертеж фигуры эллипс

    с – половина расстояния между фокусами;

    a – большая полуось;

    b – малая полуось.

    Теорема. Фокусное расстояние и полуоси связаны соотношением:

    Доказательство: В случае, если точка М находится на пересечении эллипса с вертикальной осью, r1 + r2 = 2*(по теореме Пифагора). В случае, если точка М находится на пересечении его с горизонтальной осью, r1 + r 2 = a – c + a + c. Т.к. по определению сумма r1 + r 2 – постоянная величина, то , приравнивая, получаем:

    Эксцентриситет фигуры эллипс

    Определение. Форма эллипса определяется характеристикой, которая является отношением фокусного расстояния к большей оси и называется эксцентриситетом .

    Если a = b ( c = 0, e = 0, фокусы сливаются), то эллипс превращается в окружность.

    Если для точки М(х 1 , у 1 ) выполняется условие: , то она находится внутри эллипса, а если , то точка находится вне его.

    Теорема. Для произвольной точки М(х, у), принадлежащей фигуре эллипс верны соотношения :

    Доказательство. Выше было показано, что r1 + r2 = 2 a . Кроме того, из геометрических соображений можно записать:

    После возведения в квадрат и приведения подобных слагаемых:

    Аналогично доказывается, что r2 = a + ex . Теорема доказана.

    Директрисы фигуры эллипс

    С фигурой эллипс связаны две прямые, называемые директрисами . Их уравнения:

    x = a / e ; x = — a / e .

    Теорема. Для того, чтобы точка лежала на границе фигуры эллипс, необходимо и достаточно, чтобы отношение расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равнялось эксцентриситету е.

    Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через левый фокус и нижнюю вершину фигуры эллипс, заданного уравнением :

    • Координаты нижней вершины: x = 0; y 2 = 16; y = -4.

    • Координаты левого фокуса: c 2 = a 2 – b 2 = 25 – 16 = 9; c = 3; F2 (-3; 0).

    • Уравнение прямой, проходящей через две точки:

    Пример. Составить уравнение границы фигуры эллипс, если его фокусы F 1 (0; 0), F2 (1; 1), большая ось равна 2.

    Уравнение границы имеет вид: . Расстояние между фокусами:

    2 c = , таким образом, a 2 – b 2 = c 2 = 1/2

    по условию 2а = 2, следовательно а = 1, b =

    Итого искомое уравнение имеет вид: .

    Ссылка на основную публикацию
    Что нужно для капельницы в домашних условиях
    Капельница на дому делается при неблагоприятных условиях, когда необходимость в процедуре есть, но нет возможности, обратиться к квалифицированному медику. Совет:...
    Цифровой тв тюнер dvb t2 для телевизора
    К сожалению, не все старые или бюджетные телевизоры имеют встроенный тюнер для цифрового или кабельного вещания. Тюнер необходим для того,...
    Цифровой телевизионный ресивер smp131hdt2
    Сегодня мы познакомимся с новинкой цифровых телевизионных ресиверов, работающих в стандарте DVB-T2, от компании BBK SMP131HDT2. Компания BBK является лидером...
    Что нужно для усиления сигнала интернета
    Многие ценят дачную тишь да гладь именно за отсутствие всяческой связи с миром, кроме экстренной голосовой. Однако куда больше таких,...
    Adblock detector