Функция нескольких переменных для чайников

Функция нескольких переменных для чайников

Если каждой паре независимых друг от друга чисел (х,у) из некоторого множества по какому-либо правилу ставится в соответствие одно значение переменной z, то она называется функцией двух переменных. z=f(x,y,)

Область определения функции z — совокупность пар (х,у), при которых функция z существует.

Множество значений (область значений) функции – все значения, которые принимает функция в ее области определения.

График функции двух переменных — множество точек P, координаты которых удовлетворяют уравнению z=f(x,y)

Окрестность точки M0 (х0;y0) радиуса r – совокупность всех точек (x,y), которые удовлетворяют условию 0 найдётся такое число r>0, что для любой точки М(х,у), для которых верно условие ММ

;

;

;

.

Продолжая дифференцировать полученные равенства, получим частные производные более высоких порядков.

5. Экстремум функции двух переменных: необходимое и достаточное условия.

Точка max М – это если для функции z=f(x,y), определённой в некоторой области, в некоторой окрестности точки М), верно неравенство f(x,y)≥f(x,y)

Точка min М – это если для функции z=f(x,y), определённой в некоторой области, в некоторой окрестности точки М), верно неравенство f(x,y)≤f(x,y)

Необходимое условие: если функция f(x,y) в точке (х) имеет экстремум, то в этой точке либо обе её частные производные первого порядка равны 0

либо хотя бы одна из них не существует. Эту точку (х, у) будут называть критической точкой.

Достаточное условие: пусть в окрестности критической точки (х) функция f(x,y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно.

Если ∆(х)>0, то в точке (х, у) функция f(x,y) имеет экстремум,

Если (x, y) 0 – min.

Если для каждой пары $(x,y)$ значений двух независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение $z$, то говорят, что $z$ является функцией двух переменных $(x,y)$ в данной области.

Функция двух переменных может быть задана двумя способами:

Читайте также:  Личный кабинет банка втб 24 как зарегистрироваться

аналитический способ (формула; например, $P(x,y)=2cdot (x+y)$ — периметр прямоугольника);

табличный способ (двумерная таблица; рис. 1).

Область определения (область существования) функции двух переменных $z=f(x,y)$ — это совокупность пар $(x,y)$, являющихся значениями переменных $x$ и $y$, при которых данная функция определена.

Область определения функции $z=f(x,y)$ может быть изображена на координатной плоскости совокупностью точек $(x,y)$.

Определить и изобразить область определения функции

Решение:

Функция $P(x,y)=2cdot (x+y)$ определена при любых значениях $(x,y)$.

Следовательно, область определения функции есть вся координатная плоскость $Oxy$ (рис. 2).

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Линия, которая ограничивает область определения на плоскости, называется границей области.

Точки области, которые не лежат на границе, называются внутренними точками данной области.

Если область состоит только из внутренних точек (не содержит граничных точек), то она называется открытой (незамкнутой).

Определить и изобразить область определения функции

Решение:

Функция $z=frac<1> <sqrt<4-x^<2>-y^ <2>> > $ определена при любых значениях $(x,y)$, удовлетворяющих неравенству $4-x^ <2>-y^ <2>>0$ или $x^ <2>+y^

Следовательно, область определения функции есть внутренняя часть круга радиуса $R=2$ с центром в начале координат.

Область определения является открытой, т.е. незамкнутой.

Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!

Если область содержит и внутренние точки, и граничные точки, то она называется закрытой (замкнутой).

Определить и изобразить область определения функции

Решение:

Функция $z=sqrt <4-x^<2>-y^ <2>> $ определена при любых значениях $(x,y)$, удовлетворяющих неравенству $4-x^ <2>-y^ <2>ge 0$ или $x^ <2>+y^ <2>le 4$.

Следовательно, область определения функции есть круг радиуса $R=2$ с центром в начале координат.

Область определения является закрытой, т.е. замкнутой.

Понятие функции нескольких переменных не ограничивается рассмотрением только функции двух переменных. Данное понятие легко обобщается на количество переменных от трех и более.

Если для каждой тройки $(x,y,z)$ значений трех независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение $w$, то говорят, что $w$ является функцией трех переменных $(x,y,z)$ в данной области.

Читайте также:  Найдите объем призмы в основаниях которой лежат

Если для каждой совокупности $(x,y,z. t)$ значений независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение $w$, то говорят, что $w$ является функцией переменных $(x,y,z. t)$ в данной области.

Обозначение: $w=f(x,y,z. t)$.

Понятие области определения для функции трех и более переменных вводится аналогично соответствующему определению понятия для функции двух переменных.

Функцию двух переменных можно изобразить в пространстве с помощью графика.

Для этого на плоскости $Oxy$ необходимо найти точку $(x,y)$ и восстановить из нее перпендикуляр, на котором отложить отрезок длинной равной $f(x,y)$. Конец отрезка будет являться точкой графика функции (рис.5).

Множество точек графика функции двух переменных образуют некоторую поверхность.

Изобразить график функции

Решение:

В пространстве невозможно изобразить с помощью графика функции трех и более переменных.

Так и не нашли ответ
на свой вопрос?

Просто напиши с чем тебе
нужна помощь

Функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. Линии и поверхности уровня. Предел и непрерывность функции нескольких переменных, их свойства. Частные производные, их свойства и геометрический смысл.

Определение 1.1. Переменная z (с областью изменения Z)называется функцией двух независимых переменных х,у в множестве М, если каждой паре (х,у) из множества М по некоторому правилу или закону ставится в соответствие одно определенное значение z из Z.

Определение 1.2. Множество М, в котором заданы переменные х,у, называется областью определения функции, а сами х,у – ее аргументами.

Обозначения: z = f(x,y), z = z(x,y).

  1. z = xy, z = x² + y² — функции, определенные для любых действительных значений х,у.
  2. — функция, областью определения которой являются решения неравенства .

Замечание. Так как пару чисел (х,у) можно считать координатами некоторой точки на плоскости, будем впоследствии использовать термин «точка» для пары аргументов функции двух переменных, а также для упорядоченного набора чисел , являющихся аргументами функции нескольких переменных.

Читайте также:  Что такое ttl в роутере

Определение 1.3. . Переменная z (с областью изменения Z)называется функцией нескольких независимых переменных в множестве М, если каждому набору чисел из множества М по некоторому правилу или закону ставится в соответствие одно определенное значение z из Z. Понятия аргументов и области определения вводятся так же, как для функции двух переменных.

Обозначения: z = f , z = z .

Геометрическое изображение функции двух переменных.

Рассмотрим функцию z = f(x,y), (1.1)

определенную в некоторой области М на плоскости Оху. Тогда множество точек трехмерного пространства с координатами (x,y,z), где , является графиком функции двух переменных. Поскольку уравнение (1.1) определяет некоторую поверхность в трехмерном пространстве, она и будет геометрическим изображением рассматриваемой функции.

z

M y

Примерами могут служить изучаемые в предыдущем семестре уравнения плоскости

и поверхностей второго порядка:

z = x² + y² (параболоид вращения),

(конус) и т.д.

Замечание. Для функции трех и более переменных будем пользоваться термином «поверхность в n-мерном пространстве», хотя изобразить подобную поверхность невозможно.

Линии и поверхности уровня.

Для функции двух переменных, заданной уравнением (1.1), можно рассмотреть множество точек (х,у) плоскости Оху, для которых z принимает одно и то же постоянное значение, то есть z = const. Эти точки образуют на плоскости линию, называемую линией уровня.

Найдем линии уровня для поверхности z = 4 – x² — y². Их уравнения имеют вид x² + y² = 4 – c (c=const) – уравнения концентрических окружностей с центром в начале координат и с радиусами . Например, при с=0 получаем окружность x² + y² = 4 .

Для функции трех переменных u = u (x, y, z) уравнение u (x, y, z) = c определяет поверхность в трехмерном пространстве, которую называют поверхностью уровня.

Для функции u = 3x + 5y – 7z –12 поверхностями уровня будет семейство параллельных плоскостей, задаваемых уравнениями 3x + 5y – 7z –12 + с = 0.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Да какие ж вы математики, если запаролиться нормально не можете. 8774 — | 7583 — или читать все.

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector