Формула для вычисления проекции вектора на вектор

Формула для вычисления проекции вектора на вектор

Для проекции вектора на направление вектораиз определения скалярного произведения имеем

.

В координатной форме формула для проекции примет вид

.

По определению вектор – это направленный отрезок, а длина этого отрезка в заданном масштабе является длиной вектора. Таким образом, задача нахождения длины вектора на плоскости и в пространстве сводится к нахождению длины соответствующего отрезка. Для решения этой задачи в нашем распоряжении все средства геометрии, хотя в большинстве случаев достаточно теоремы Пифагора. С ее помощью можно получить формулу для вычисления длины вектора по его координатам в прямоугольной системе координат, а также формулу нахождения длины вектора по координатам точек его начала и конца. Когда вектор является стороной треугольника, то его длина может быть найдена по теореме косинусов, если известны длины двух других сторон и угол между ними.

Нахождение длины вектора по координатам.

Длину вектора будем обозначать. Из-за такого обозначения длину вектора часто называют модулем вектора.

Начнем с нахождения длины вектора на плоскости по координатам.

Введем на плоскости прямоугольную декартову систему координат Oxy. Пусть в ней задан вектор и он имеет координаты. Получим формулу, позволяющую находить длину векторачерез координатыи.

Отложим от начала координат (от точки О) вектор . Обозначим проекции точкиА на координатные оси как исоответственно и рассмотрим прямоугольникс диагональюОА.

В силу теоремы Пифагора справедливо равенство , откуда. Из определениякоординат вектора в прямоугольной системе координат мы можем утверждать, что и, а по построению длинаОА равна длине вектора , следовательно,.

Таким образом, формула для нахождения длины вектора по его координатам на плоскости имеет вид.

Если вектор представлен в виде разложения по координатным векторам, то его длина вычисляется по этой же формуле, так как в этом случае коэффициентыиявляются координатами векторав заданной системе координат.

Читайте также:  Босшен смеситель кухонный отзывы

Длина вектора через координаты точек его начала и конца.

А как найти длину вектора, если даны координаты точек его начала и конца?

В предыдущем пункте мы получили формулы для нахождения длины вектора по его координатам на плоскости и в трехмерном пространстве. Тогда мы можем ими воспользоваться, если найдем координаты вектора по координатам точек его начала и конца.

Таким образом, если на плоскости заданы точки и, то векторимеет координатыи его длина вычисляется по формуле, а формула для нахождения длины векторапо координатам точекитрехмерного пространства имеет вид.

Условия ортогональности векторов. Два вектора

ортогональны (перпендикулярны), если их скалярное произведение равно нулю

Вектора, параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой называют коллинеарными.

Условия коллинеарности векторов

Два вектора коллинеарные, если отношения их координат равны.

Два вектора коллинеарные, если их 1/"векторное произведение равно нулю.

Так в случае плоской задачи вектора a= x;ay>и b= x;by>коллинеарны если

kor.giorgio@gmail.com Выход

Этот калькулятор онлайн вычисляет проекцию вектора на вектор. Вектора могут быть заданы в 2-х и 3-х мерном пространстве.

Онлайн калькулятор для вычисления проекции вектора на вектор не просто даёт ответ задачи, он приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс решения для того чтобы проконтролировать знания по математике и/или алгебре.

Этот калькулятор онлайн может быть полезен учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Читайте также:  Обозначения на материнской плате расшифровка

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Если вы не знакомы с правилами ввода чисел, рекомендуем с ними ознакомиться.

Числа можно вводить целые или дробные.
Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.

Правила ввода десятичных дробей.
В десятичных дробях дробная часть от целой может отделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так: 2.5 или так 1,3

Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.

Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Ввод: -2/3
Результат: ( -frac<2> <3>)

Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: -1&5/7
Результат: ( -1frac<5> <7>)

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector