Что значит функция монотонна

Что значит функция монотонна

Возрастающие и убывающие функции объединяют общим понятием: монотонные функции.

Монотонная функция – это функция, меняющаяся в одном и том же направлении.

Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Говоря иначе, если при возрастании значения x значение y тоже возрастает, то это возрастающая функция.

Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Говоря иначе, если при возрастании значения x значение y убывает, то это убывающая функция.

Если функция возрастает или убывает на некотором промежутке, то она называется монотонной на этом промежутке.

Функция постоянна (немонотонна), если она не убывает и не возрастает.


Свойства монотонных функций:

1) Сумма нескольких возрастающих функций является возрастающей функцией.

2) Произведение неотрицательных возрастающих функций есть возрастающая функция.

3) Если функция f возрастает и сохраняет знак, то функция 1/f убывает.

4) Если функция f возрастает и неотрицательна, то f n тоже возрастает (n ∈ N).

5) Композиция g (f (x)) возрастающих функций f и g также возрастает.

6) Если функция f возрастает, то функции cf (c > 0) и f + c также возрастают, а функция cf (c Производная и монотонность функции.

Зависимость между знаком производной и характером монотонности:

Если на промежутке Х функция возрастает и имеет на нем производную, то производная неотрицательна.

Если на промежутке Х функция убывает и имеет на нем производную, то производная неположительна.

Условия возрастания или убывания функции y = f(x):

Функция возрастает, если во всех точках открытого промежутка Х производная f ′(x) больше нуля:

Говоря проще, функция возрастает, если производная положительна.

Примечание : Равенство f ′(x) = 0 либо выполняется лишь в конечном множестве точек, либо не выполняется вовсе.

Функция убывает, если во всех точках открытого промежутка Х производная f ′(x) меньше нуля:

f ′(x) Примечание : равенство f ′(x) = 0 либо выполняется лишь в конечном множестве точек, либо не выполняется вовсе.

Условие существования постоянной функции:

Функция y = f(x) постоянна на промежутке Х, если во всех точках этого промежутка производная
f ′(x) равна нулю:

Монотонность некоторых функций:


Функция


Производная


Монотонность

При a > 0 возрастает

При a 0 возрастает.

При k > 0 убывает на (–∞; 0) и (0; +∞).

При a > 0 убывает на (–∞; –b/2a]
и возрастает на [–b/2a; +∞).

Увеличение и уменьшение функций в интервале

Функция называется ростом в интервале ( (a ; b) ) , если большое значение аргумента соответствует большему значению функции, т. Е. Для любой пары ( x_<1>, x_ <2>in(a, b) ) , для которой ( x_<1>>x_ <2>) неравенство ( fleft(x_<1>
ight)>fleft(x_<2>
ight) )

Функция называется убывающей в интервале ( (a, b) ) , если большое значение аргумента соответствует меньшему значению функции, т. e. Для любой пары ( x_<1>, x_ <2>in(a, b) ) , для которой выполняется ( x_<1>>x_ <2>) , ( fleft(x_<1>
ight) ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Функция называется монотонной на интервале, если она либо возрастает, либо убывает в этом интервале.

Достаточное условие монотонности функции. Пусть функция ( f(x) ) определена и дифференцируема в интервале ( (a ; b) ) . Для того чтобы функция возрастала в интервале ( (a ; b) ) , достаточно, чтобы ( f^<prime>(x)>0 ) для всех ( x in(a, b) )

Чтобы уменьшить функцию, достаточно, чтобы ( f^<prime>(x) ПРИМЕР 1

Чтобы найти интервалы монотонности функции ( f(x)=3+9 x^<2>-x^ <3>)

Эта функция определена на всей оси чисел. Найти производную от данной функции.

Найти критические точки, для этого мы решим уравнение

( 18 x-3 x^<2>=0 Leftrightarrow 3 x(6-x)=0 Leftrightarrow x_<1>=0 ; x_<2>=6 )

Эти точки делят область на три интервала, помещают их в таблицу:

Функция ( f(x)=3+9 x^<2>-x^ <3>) возрастает на интервале ( (0 ; 6) ) и уменьшается на отрезках ( (-infty ; 0) ), ( (6 ;+infty) )

Определить интервалы увеличения и уменьшения функции

Область определения функции решения ( D(y) : x in(-infty ; 0) cup(0 ;+infty) )

Читайте также:  Уменьшить немного размер фото

Вычислить производную данной функции

Приравняем производную производную к нулю и найдем корни полученного уравнения

( frac<2>-1>=0 Leftrightarrow frac<(x+1)(x-1)>=0 Leftrightarrow x
eq 0 ; x_<1>=-1 ; x_<2>=1 )

Мы получаем четыре интервала, мы привезем их в таблицу.

Функция ( y=frac<2>+1> ) возрастает на интервалах ( (-1 ; 0) ), ( (1 ;+infty) ) и уменьшается на отрезках ( (-infty ;-1) ), ( (1 ;+infty) )

В математике , А монотонная функция (или монотонная функция ) является функцией от упорядоченных множеств , которая сохраняет или меняет данный порядок . Эта концепция впервые возникла в исчислении , а позже была обобщена на более абстрактную обстановку теории порядка .

содержание

Монотонность в исчислении и анализе

В исчислении , функция , определенная на подмножестве из действительных чисел с реальными значениями называется монотонной , если и только если оно либо полностью не возрастает, либо полностью не убывает. То есть, как на рис. 1, функция , которая монотонно возрастает не только должны расти, это просто не должно уменьшаться. е < Displaystyle е>

Функция называется монотонно возрастающей (также увеличивая или не убывает ), если для всех и таким образом, что один имеет , поэтому сохраняет порядок (рисунок 1). Аналогично, функция называется монотонно убывает (также уменьшение или не возрастает ) , если всякий раз, когда , то , так что он изменяет порядок (рисунок 2). Икс < Displaystyle х> Y < Displaystyle у> Икс ≤ Y < Displaystyle х у>Leq е ( Икс ) ≤ е ( Y ) < Displaystyle е ! Слева (х справа) Leq е ! Слева (у справа)> е < Displaystyle е> Икс ≤ Y < Displaystyle х у>Leq е ( Икс ) ≥ е ( Y ) < Displaystyle е ! Слева (х справа) GEQ е ! Слева (у справа)>

Если порядок в определении монотонности заменяется строгим порядком , то получается более сильное требование. Функция с этим свойством называется строго возрастающей . Опять же , путем инвертирования символ порядка, можно найти соответствующее понятие называется строго убывает . Функции , которые строго увеличивая или уменьшая это один-к-одному (потому что для не равно , либо или и так, в силу монотонности, либо или , таким образом , не равен .) ≤ < Displaystyle >Leq < Displaystyle Икс < Displaystyle х> Y < Displaystyle у> Икс Y < Displaystyle х y>"> Икс > Y < Displaystyle х>у> у"> е ( Икс ) е ( Y ) < Displaystyle е ! Слева (х справа) f!left(y
ight)>"> е ( Икс ) > е ( Y ) < Displaystyle е ! Слева (х справа)>е ! Слева (у справа)> е ! слева (у справа)"> е ( Икс ) < Displaystyle е ! Слева (х справа)> е ( Y ) < Displaystyle е ! Слева (у справа)>

Если это не ясно , что «увеличение» и «уменьшающийся» берутся включать в себя возможность повторения того же значения при последовательных аргументах, можно использовать термины слабо растет и слабо снижается , чтобы подчеркнуть эту возможность.

Термины «неубывающие» и «невозрастающий» не следует путать с (гораздо более слабыми) отрицательными квалификациями «не уменьшаются» и «не растут». Например, функция Рисунок 3 первых падений, затем поднимается, а затем снова падает. Это не следовательно, не уменьшается, а не увеличивается, но это не является ни неубывающим, ни невозрастающим.

Функция называется абсолютно монотонна на интервале , если производные всех порядков являются неотрицательно или все неположительны во всех точках интервала. е ( Икс ) < Displaystyle е ! Слева (х справа)> ( a , б ) < Displaystyle слева (а, б справа)> е < Displaystyle е>

Монотонная трансформация

Термин монотонное преобразование (или монотонное преобразование ) может также , возможно , вызвать некоторую путаницу , поскольку это относится к преобразованию с помощью строго возрастающей функции. Так обстоит дело в экономике относительно порядковых свойств функции полезности сохраняются через монотонное преобразование (см также монотонные предпочтения ). В этом контексте, что мы называем «в монотонное преобразование» есть, точнее, называется «положительное монотонное преобразование», для того , чтобы отличить его от «отрицательного монотонного преобразования» , который меняет порядок чисел.

Читайте также:  Слишком мало виртуальной памяти что делать

Некоторые основные приложения и результаты

Следующие свойства справедливы для монотонной функции : е : р → р < Displaystyle е толстой кишки mathbb , в mathbb >

  • е < Displaystyle е>имеет пределы справа и слева в каждой точке своей области ;
  • е < Displaystyle е>имеет предел при положительной или отрицательной бесконечности ( ) : либо вещественное число, или . ± ∞ < Displaystyle ч infty>∞ < Displaystyle infty>( — ∞ ) < Displaystyle влево (- infty справа)>
  • е < Displaystyle е>может иметь только прыжковых разрывы ;
  • е < Displaystyle е>может иметь лишь счетное множество разрывов в своей области. Разрывы, однако, не обязательно состоят из изолированных точек и даже могут быть плотно в интервале ( , б ).

Эти свойства являются причиной монотонных функций полезны в технической работе в анализе . Два факты об этих функциях:

  • если есть монотонная функция , определенная на отрезке , то есть дифференцируемапочти всюду на , то есть множество чисел в таких , что не дифференцируема имеет лебеговумеру нуль . Кроме того, этот результат не может быть улучшен до счетного: см функции Кантора . е < Displaystyle е>я < Displaystyle I>е < Displaystyle е>я < Displaystyle I>< Икс : Икс ∈ я >< Displaystyle влево <х: х в I право >>Икс < Displaystyle х>я < Displaystyle I>е < Displaystyle е>Икс < Displaystyle х>
  • если есть монотонная функция , определенная на отрезке , то есть Риман . е < Displaystyle е>[ a , б ] < Displaystyle влево [а, Ь право]>е < Displaystyle е>

Важное применение монотонных функций в теории вероятностей . Если это случайная величина , ее функция распределения является монотонно возрастающей функцией. Икс < Displaystyle X> F Икс ( Икс ) знак равно Проб ( Икс ≤ Икс ) < Displaystyle F_ ! Слева (х справа) = < текст <Проб>> ! Слева (X Leq х справа)>

Функция является унимодальна , если она монотонно возрастает до некоторой точки ( режим ) , а затем монотонно убывает.

Когда это строго монотонная функция, то есть инъективны на своей области, и если это диапазон от , то есть обратная функция на для . е < Displaystyle е> е < Displaystyle е> T < Displaystyle Т> е < Displaystyle е> T < Displaystyle Т> е < Displaystyle е>

Монотонность в топологии

Карта называется монотонным , если каждый из его волокон соединен т.е. для каждого элемента в (возможно , пустой) набор подключен. е : Икс → Y < Displaystyle F: X СтрелкаВправо Y> Y < Displaystyle у> Y < Displaystyle Y> е — 1 ( Y ) < Displaystyle е ^ <- 1>(у)>

Монотонность в функциональном анализе

В функциональном анализе на топологическом векторном пространстве , (возможно , нелинейный) оператор называется быть монотонным оператором , если Икс < Displaystyle X> T : Икс → Икс * < Displaystyle T: X СтрелкаВправо X ^ <*>>

( T U — T v , U — v ) ≥ 0 ∀ U , v ∈ Икс , < Displaystyle (Тот-Тв, увы) GEQ 0 четырехъядерного FORALL U, V в X.>

Теорема Качуровский в показывает , что выпуклые функции на банаховых пространствах имеют монотонные операторы , как и их производные.

Подмножество из называется быть монотонной установлен , если для каждой пары , и в , г < Displaystyle G> Икс × Икс * < Displaystyle X раз X ^ <*>> [ U 1 , вес 1 ] < Displaystyle [и- <1>, w_ <1>]> [ U 2 , вес 2 ] < Displaystyle [и- <2>, w_ <2>]> г < Displaystyle G>

Читайте также:  Как сгенерировать календарь в кореле

( вес 1 — вес 2 , U 1 — U 2 ) ≥ 0. < Displaystyle (w_ <1>-w_ <2>, и- <1>-u_ <2>) GEQ 0.>

Монотонность в теории порядка

Теория заказа сделки с произвольными частично упорядоченными множествами и предупорядоченными множествами в дополнении к действительным числам. Приведенное выше определение монотонности имеет отношение в этих случаях. Однако термины «увеличение» и «уменьшение» исключаются, так как их обычное графическое представление не относится к заказам, которые не суммарно . Кроме того, строгие отношения малопригодны во многих без общего объема заказов и , следовательно , никакой дополнительной терминология не вводятся для них.

Монотонная функция также называется изотопный , или с сохранением порядка . Двойное понятие часто называют антитонен , анти-монотонной , или порядок реверсирования . Следовательно, функция антитонен F удовлетворяет свойству

для всех х и у в своей области. Композит двух монотонных отображений также монотонно.

Постоянная функция является одновременно монотонно и антитонен; и наоборот, если F является монотонно как и антитонен, и если область F является решеткой , то F должна быть постоянной.

Монотонные функции являются центральными в теории порядка. Они появляются в большинстве статей на эту тему и примерах из специальных применений можно найти в этих местах. Некоторые известные специальные функции монотонные вложения порядка (функции , для которых ху , если и только если F ( х ) ≤ F ( у )) и порядка изоморфизмы ( сюръективны вложения порядка).

Монотонность в контексте алгоритмов поиска

В контексте поиск алгоритмов монотонности (также называется консистенция) является условием , примененным к эвристическим функциям . Эвристическая ч (п) монотонна , если для каждого узла п и каждый преемник п « из п порожденного каких — либо действий в , по оценкам , стоимость достижения цели из п не больше , чем на этапе стоимость получения до п» плюс оценочная стоимость достижения цели из п» ,

час ( N ) ≤ с ( N , a , N ‘ ) + час ( N ‘ ) , < Displaystyle ч (п) Leq с (п, а, п ‘) + Н (п’).>

Это форма неравенства треугольника с п , п» , и цель G п ближе к п . Поскольку каждая монотонная эвристический также допустима , монотонность является более строгим требованием , чем приемлемости. Некоторые эвристические алгоритмы , такие как A * может быть доказано оптимальным при условии , что они используют эвристические монотонна.

булевы функции

В булевой алгебре , монотонная функция является одним из таких , что для всех в I и б я в <0,1>, если 1б 1 , 2б 2 , . п б п (т.е. декартово произведение <0, 1> п упорядочен покоординатно ), то F ( 1 , . п ) ≤ F ( б 1 , . б п ). Другими словами, булева функция является монотонной , если для каждой комбинации входов, переключение один из входов от ложного к истине может вызывать только выход для переключения от ложного к истине , а не от истинного на ложное. Графически это означает , что булева функция монотонна , когда в его диаграмме Хассе ( двойной ее диаграммы Венна ), нет 1 подключен к выше 0.

Монотонные булевы функции являются именно те , которые могут быть определены с помощью выражения , сочетающего входы (которые могут появляться более одного раза) , используя только оператор и и или (в частности , не запрещено). Например , « по меньшей мере , два из , Ь , с удержанием» является монотонной функцией в , б , с , так как она может быть записана, например , как (( в и б ) или ( в и гр ) или ( б и с )).

Число таких функций на п переменных называется числом дедекиндовым из п .

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector