Что такое квадратная матрица

Что такое квадратная матрица

Понятие матрицы впервые появилось в середине XIX века в работах Уильяма Гамильтона и Артура Кэли. Фундаментальные результаты в теории матриц принадлежат Вейерштрассу, Жордану, Фробениусу.

Матрица как запись коэффициентов системы линейных уравнений

Систему из m уравнений с n неизвестными

можно представить в матричном виде

и тогда всю систему можно записать так:

где A имеет смысл таблицы коэффициентов aij системы уравнений.

Если m = n и матрица A невырожденная, то решение этого уравнения состоит в нахождении обратной матрицы A — 1 , поскольку умножив обе части уравнения на эту матрицу слева

A − 1 A — превращается в E (единичную матрицу). И это даёт возможность получить столбец корней уравнений

Все правила, по которым проводятся операции над матрицами выводятся из операций над системами уравнений.

Операции над матрицами

Умножение матрицы A на число λ (обозначение: λA ) заключается в построении матрицы B , элементы которой получены путём умножения каждого элемента матрицы A на это число, то есть каждый элемент матрицы B равен

Сложение матриц A + B есть операция нахождения матрицы C , все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц A и B , то есть каждый элемент матрицы C равен

cij = aij + bij

Вычитание матриц AB определяется аналогично сложению, это операция нахождения матрицы C , элементы которой

cij = aijbij

Сложение и вычитание допускается только для матриц одинакового размера.

Существует нулевая матрица Θ такая, что её прибавление к другой матрице A не изменяет A, то есть

Все элементы нулевой матрицы равны нулю.

Умножение матриц (обозначение: AB , реже со знаком умножения ) — есть операция вычисления матрицы C , элементы которой равны сумме произведений элементов в соответствующей строке первого множителя и столбце второго.

cij = aikbkj
k

В первом множителе должно быть столько же столбцов, сколько строк во втором. Если матрица A имеет размерность , B, то размерность их произведения AB = C есть . Умножение матриц не коммутативно.

Умножение матриц ассоциативно. Возводить в степень можно только квадратные матрицы.

Транспонирование матрицы (обозначение: A T ) — операция, при которой матрица отражается относительно главной диагонали, то есть

Если A — матрица размера , то A T — матрица размера

Квадратная матрица и смежные определения

Если количество строк матрицы равно количеству столбцов, то такая матрица называется квадратной.

Для квадратных матриц существует единичная матрица E (аналог единицы для операции умножения чисел) такая, что умножение любой матрицы на неё не влияет на результат, а именно

У единичной матрицы единицы стоят только по главной диагонали, остальные элементы равны нулю

Для некоторых квадратных матриц можно найти так называемую обратную матрицу. Обратная матрица A — 1 такова, что если умножить матрицу на неё, то получится единичная матрица:

Обратная матрица существует не всегда. Матрицы, для которых обратная существует, называются невырожденными (или регулярными), а для которых нет — вырожденными (или сингулярными). Матрица невырождена, если все ее строки (столбцы) линейно независимы как векторы. Максимальное число линейно независимых строк (столбцов) называется рангом матрицы. Определителем (детерминантом) матрицы называется значение нормированной кососимметрической (антисимметрической) полилинейной формы валентности на столбцах матрицы. Квадратная матрица над числовым полем вырождена тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю.

Свойства матриц

  1. A + (B + C) = (A + B) + C
  2. A + B = B + A
  3. A(BC) = (AB)C
  4. A(B + C) = AB + AC
  5. (B + C)A = BA + CA
  6. (AT ) T = A
  7. (A * B) T = BT * AT

Элементарные преобразования матриц

Элементарными преобразованиями строк матрицы называются следующие преобразования:

  1. Умножение строки на число отличное от нуля
  2. Прибавление одной строки к другой строке

Элементарные преобразование столбцов матрицы определяются аналогично.

Типы матриц

  • Антиперестановочная: AB = − BA
  • Единичная
  • Блочно-диагональная
  • Ганкелева
  • Верхнетреугольная
  • Вырожденная
  • Диагональная
  • Трёхдиагональная
  • Заполненная — в вычислительной математике матрица, которая практически не содержит нулей. Такую матрицу приходится хранить в памяти целиком. Антоним: разреженная.
  • Квадратной называют матрицу, количество строк в которой равно количеству столбцов. Для квадратных матриц существует определитель.
  • Кососимметрическая
  • Нижнетреугольная
  • Нормальная
  • Нулевая
  • Ортогональная
  • Перестановочная: AB = BA
  • Разреженная — в вычислительной математике матрица, содержащая много нулей. Организовав подходящую структуру данных, вычисления с разреженными матрицами можно проводить очень быстро. Частные случаи: диагональная, трёхдиагональная, жорданова. Антоним: заполненная.
  • Симметричная
      Читайте также:  Как быстро размыть фон в фотошопе
    1. Симметричная матрица A положительно определена ( A > 0 ), если значения у всех ее главных угловых миноровAk > 0
    2. Симметричная матрица A отрицательно определена ( A ), если матрица ( − A) положительно определена, то есть если для любого k главный минор k -го порядка Ak имеет знак ( − 1) k
    3. Теплицева
    4. Треугольная
    5. Эрмитова
    6. Циркулянт
    7. Унитарная
    8. Унимодулярная
    9. Матрица линейного оператора

      Матрица линейного оператора — матрица, выражающая линейный оператор в некотором базисе. Для того, чтобы ее получить, необходимо подействовать оператором на векторы базиса и координаты полученных векторов (образов базисных векторов) записать в столбцы матрицы.

      Матрица оператора аналогична координатам вектора. При этом действие оператора на вектор равносильно умножению матрицы на столбец координат этого вектора в том же базисе.

      Выберем базис . Пусть — произвольный вектор. Тогда его можно разложить по этому базису:

      ,

      где x k — координаты вектора в выбранном базисе.

      Пусть — произвольный линейный оператор. Подействуем им на обе стороны предыдущего равенства, получим

      .

      Вектора также разложим в выбранном базисе, получим

      ,

      где j -я координата k -го вектора из .

      Подставим разложение в предыдущую формулу, получим

      .

      Выражение , заключённое в скобки, есть ни что иное, как формула умножения матрицы на столбец, и, таким образом, матрица при умножении на столбец x k даёт в результате координаты вектора , возникшего от действия оператора на вектор , что и требовалось получить.

      См. также

      • Норма матрицы
      • Определитель матрицы
      • Массив — тип данных в программировании, соответствующий многомерной матрице.
      • Разрежённый массив — компьютерная форма представления матриц со множеством нулей.
      • Линейные матричные неравенства — аппарат для решения задач синтеза законов управления.

      Литература

      • Дж. Голуб, Ч.Ван ЛоунМатричные вычисления. — М .: Мир, 1999 (djvu).
      • Беллман Р.Введение в теорию матриц. — М .: Мир, 1969 (djvu).
      • Гантмахер Ф. Р.Теория матриц (2-е издание). — М .: Наука, 1966 (djvu).
      • Ланкастер П.Теория матриц. — М .: Наука, 1973 (djvu).
      • Соколов Н. П.Пространственные матрицы и их приложения. — М .: ГИФМЛ, 1960 (djvu).

      Ссылки

      Wikimedia Foundation . 2010 .

      Смотреть что такое "Квадратная матрица" в других словарях:

      квадратная матрица — — [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] квадратная матрица Матрица, у которой число строк и столбцов равно, то есть m=n (индекс строки i= 1, 2,…m, а индекс столбца j=1, 2. n). Все элементы, у которых i=j,… … Справочник технического переводчика

      Квадратная матрица — [square matrix] матрица, у которой число строк и столбцов равно, то есть m = n (индекс строки i= 1,2,…m, а индекс столбца j = 1,2. n). Все элементы, у которых i=j, начиная со стоящего в левом верхнем углу элемента с индексами (1,1) и… … Экономико-математический словарь

      квадратная матрица — kvadratinė matrica statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. square matrix vok. quadratische Matrix, f rus. квадратная матрица, f pranc. matrice carrée, f … Automatikos terminų žodynas

      квадратная матрица — kvadratinė matrica statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. quadratic matrix; square matrix vok. quadratische Matrix, f rus. квадратная матрица, f pranc. matrice carrée, f … Fizikos terminų žodynas

      Матрица — [matrix] система элементов (чисел, функций и других величин), расположенных в виде прямоугольной таблицы, над которой можно производить определенные действия. Таблица имеет следующий вид: Элемент матрицы в общем виде обозначается aij это… … Экономико-математический словарь

      Читайте также:  Как ускорить работу вентилятора на компе

      матрица — Логическая сеть, сконфигурированная в виде прямоугольного массива пересечений входных/выходных каналов. [http://www.vidimost.com/glossary.html] матрица Система элементов (чисел, функций и других величин), расположенных в виде прямоугольной… … Справочник технического переводчика

      Матрица смежности — один из способов представления графа в виде матрицы. Содержание 1 Определение 2 Примеры 3 Свойства … Википедия

      Матрица Сильвестра — Матрица Сильвестра матрица, позволяющая вычислить результант двух многочленов. Открыта английским математиком Джеймсом Сильвестром. Определение Пусть даны многочлены , . Тогда матрицей Сильвестра для этих многочленов будет квадратная… … Википедия

      Матрица расстояний — это квадратная матрица типа объект объект (порядка n) содержащая в качестве элементов расстояния между объектами в метрическом пространстве. Свойства матрицы являются отражением свойств самих расстояний[1]: симметричность относительно диагонали,… … Википедия

      Матрица (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Матрица. Матрица математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (например, целых, действительных или комплексных чисел), которая представляет… … Википедия

      Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел с некоторым количеством m строк и с некоторым количеством n столбцов. Числа m и n называются порядками или размерами матрицы.

      Матрица порядка m × n записывается в форме:

      или (i=1,2. m; j=1,2. n).

      Числа aij входящие в состав данной матрицы называются ее элементами. В записи aij первый индекс i означает номер строки, а второй индекс j— номер столбца.

      Матрица строка

      Матрица размером 1×n, т.е. состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой. Например:

      Матрица столбец

      Матрица размером m×1, т.е. состоящая из одного столбца, называется матрицей-столбцом. Например

      Нулевая матрица

      Если все элементы матрицы равны нулю,то матрица называется нулевой матрицей . Например

      Квадратная матрица

      Матрица A порядка m×n называется квадратной матрицей, если количество строк и столбцов совпадают: m=n. Число m=n называется порядком квадратной матрицы. Например:

      Главная диагональ матрицы

      Элементы расположенные на местах a 11, a 22 . ann образуют главную диагональ матрицы. Например:

      В случае m×n -матриц элементы aii ( i= 1,2. min(m,n)) также образуют главную диагональ. Например:

      Элементы расположенные на главной диагонали называются главными диагональными элементами или просто диагональными элементами .

      Побочная диагональ матрицы

      Элементы расположенные на местах a 1n, a 2n-1 . a n1 образуют побочную диагональ матрицы. Например:

      Диагональная матрица

      Квадратная матрица называется диагональной, если элементы, расположенные вне главной диагонали равны нулю. Пример диагональной матрицы:

      Единичная матрица

      Квадратную матрицу n-го порядка, у которой на главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю, называется единичной матрицей и обозначается через E или E n , где n — порядок матрицы. Единичная матрица порядка 3 имеет следующий вид:

      След матрицы

      Сумма главных диагональных элементов матрицы A называется следом матрицы и обозначается Sp A или Tr A. Например:

      Верхняя треугольная матрица

      Квадратная матрица порядка n×n называется верхней треугольной матрицей, если равны нулю все элементы матрицы, расположенные под главной диагональю, т.е. aij=0, при всех i>j . Например:

      Нижняя треугольная матрица

      Квадратная матрица порядка n×n называется нижней треугольной матрицей, если равны нулю все элементы матрицы, расположенные над главной диагональю, т.е. aij=0, при всех i T ).

      Cтолбцы матрицы A образуют пространство столбцов матрицы и обозначаются через R(A).

      Ядро или нуль пространство матрицы

      Множесто всех решений уравнения Ax=0, где A- mxn-матрица, x— вектор длины n — образует нуль пространство или ядро матрицы A и обозначается через Ker(A) или N(A).

      Противоположная матрица

      Для любой матрицы A сущеcтвует противоположная матрица -A такая, что A+(-A)=0. Очевидно, что в качестве матрицы -A следует взять матрицу (-1)A, элементы которой отличаются от элементов A знаком.

      Читайте также:  Драйвер для мыши оклик

      Кососимметричная (Кососимметрическая) матрица

      Кососимметричной называется квадратная матрица, которая отличается от своей транспонированной матрицы множителем −1:

      В кососимметричной матрице любые два элемента, расположенные симметрично относительно главной диагонали отличаются друг от друга множителем −1, а диагональные элементы равны нулю.

      Пример кососимметрической матрицы:

      Разность матриц

      Разностью C двух матриц A и B одинакового размера определяется равенством

      Для обозначения разности двух матриц используется запись:

      Степень матрицы

      Пусть квадратная матрица размера n×n. Тогда степень матрицы определяется следующим образом:

      где E-единичная матрица.

      Из сочетательного свойства умножения следует:

      где p,q— произвольные целые неотрицательные числа.

      Симметричная (Симметрическая) матрица

      Матрица, удовлетворяющая условию A=A T называется симметричной матрицей.

      Для симметричных матриц имеет место равенство:

      Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m одинаковой длины строк или n одинаковой длины столбцов.

      aij— элемент матрицы, который находится в i-ой строке и j-м столбце.

      Для краткости матрицу можно обозначать одной заглавной буквой, например, А или В.

      В общем виде матрицу размером m×n записывают так

      .

      Примеры:

      Если в матрице число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной, причём число ее строк или столбцов называется порядком матрицы. В приведённых выше примерах квадратными являются вторая матрица – её порядок равен 3, и четвёртая матрица – её порядок 1.

      Матрица, в которой число строк не равно числу столбцов, называется прямоугольной. В примерах это первая матрица и третья.

      Главной диагональю квадратной матрицы назовём диагональ, идущую из левого верхнего в правый нижний угол.

      Квадратная матрица, у которой все элементы, лежащие ниже главной диагонали, равны нулю, называется треугольной матрицей.

      .

      Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме, быть может, стоящих на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной матрицей. Например, или .

      Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной матрицей и обозначается буквой E. Например, единичная матрица 3-го порядка имеет вид .

      назад в содержание

      (36)85.Что такое линейные операции над матрицами? Примеры.

      Во всех случаях, когда вводятся новые математические объекты, необходимо договариваться о правилах действийнад ними, а также определить — какие объекты считаются равнымимежду собой.

      Природа объектов не имеет никакого значения. Это могут быть вещественные или комплексные числа, векторы, матрицы, строки или что-то иное.

      К числу стандартных действий относятся линейные операции, а именно: умножение на число и сложение; в данном конкретном случае — умножкние матрицы на число и сложение матриц.

      При умножении матрицы на число каждый матричный элемент умножается на это число, а сложение матриц подразумевает попарное сложение элементов, расположенных в эквивалентных позициях.

      Терминологическое выражение " линейная комбинация

      для любых допустимых значений индексов i и j. К линейным операциям над элементами множества или пространства относятся операции сложения элементов и их умножения на скаляр (число). Умножение матрицы на число При умножении матрицы A на число λ (слева или справа) каждый ее матричный элемент умножается на это число:

      Сложение матриц Операция сложения определена только для матриц одинаковых размеров. Результатом сложения матриц A = || ai j || и B = || bi j || является матрица C = || ci j || , элементы которой равны сумме соответствующих матричных элементов:

      Линейной комбинацией матриц A и B называется выражение вида , гдеи– числовые коэффициенты.

      Ссылка на основную публикацию
      Adblock detector