Числовая последовательность это в мат анализе

Числовая последовательность это в мат анализе

Рассмотрим множество натуральных чисел 1, 2, 3, 4, …..n,…

Пусть каждому натуральному числу по некоторому правилу или закону поставлено в соответствие действительное число х1, х2, х3, … хn, … Тогда говорят, что на множестве натуральных чисел задана числовая последовательность n>.

Числовая последовательность считается заданной, если указано правило, по которому может быть вычислен любой член последовательности, если только известен его номер. Это правило называется формулой n членапоследовательности.

Например: хп = n 2

Предел последовательности

Число а называется пределомпоследовательности n>, если для всякого ε > 0 найдётся числоN(ε) такое, что для всехn>Nвыполняется неравенство │хп— а│ 0 найдется такое числоN(ε), что все члены последовательности с номерамиn>Nпопадут в ε – окрестность точки а. Вне этой окрестности либо не имеется точек хп, либо имеется конечное их число.

Теорема 1. Если последовательность имеет предел, то он единственный.

Пусть последовательность имеет два различных предела а и b. Рассмотрим окрестности точек а иbтакой малой величины, что они не пересекаются. Воспользуемся вторым определением предела последо-вательности. Поскольку число а является пределом последовательности, то существует такая окрестность точки а, что все члены последовательности за исключением может быть их конечного числа попадут в ε – окрестность точки а. Так как числоbявляется пределом последовательности, то все члены последовательности за исключением лишь их конечного числа попадут в ε – окрестность точкиb. Таким образом, все члены одного бесконечного множества попали в окрестности двух различных точек, чего быть не может. Получили противоречие. Следовательно, предел единственный и теорема верна.

Основные свойства пределов

Предел алгебраической суммы конечного числа последовательностей равен алгебраической сумме пределов последовательностей слагаемых, если последние пределы существуют.

Предел произведенияконечного числа последовательностей равен произведению пределов последовательностей сомножителей, если последние пределы существуют.

Предел частногопоследовательностей равен частному пределов числителя и знаменателя, если последние пределы существуют и предел последовательности знаменателя отличен от нуля.

Докажем, например, первое утверждение.

Пусть имеются две последовательности n> и n> и их сумма n +yn>. Требуется доказать, что

Воспользуемся определением предела последовательности.

Определение последовательности

Более подробно см. страницу Определение числовой последовательности >>>.
Далее мы будем считать, что элементами последовательности являются действительные числа.

Последовательность называется ограниченной, если существует такое число M , что для всех действительных n .
Верхней гранью последовательности называют наименьшее из чисел, ограничивающее последовательность сверху. То есть это такое число s , для которого для всех n и для любого , найдется такой элемент последовательности , превосходящий s′ : .
Нижней гранью последовательности называют наибольшее из чисел, ограничивающее последовательность снизу. То есть это такое число i , для которого для всех n и для любого , найдется такой элемент последовательности , меньший i′ : .

Верхнюю грань также называют точной верхней границей, а нижнюю грань – точной нижней границей. Понятия верхней и нижней граней справедливы не только к последовательностям, но и к любым множествам действительных чисел.

Читайте также:  Гугл с картинками в поиске

Определение предела последовательности

С помощью логических символов существования и всеобщности определение предела можно записать следующим образом:
.

ε — окрестность точки a – это открытый интервал ( a – ε, a + ε ) . Сходящаяся последовательность – это последовательность, у которой существует предел .
Также говорят, что последовательность сходится к a . Расходящаяся последовательность – это последовательность, не имеющая предела.

Точка a не является пределом последовательности , если существует такое , что для любого натурального n существует такое натуральное m > n , что
.
.
Это означает, что можно выбрать такую ε — окрестностью точки a , за пределами которой будет находиться бесконечное число элементов последовательности.

Свойства конечных пределов последовательностей

Основные свойства

Точка a является пределом последовательности тогда и только тогда, когда за пределами любой окрестности этой точки находится конечное число элементов последовательности или пустое множество.

Если число a не является пределом последовательности , то существует такая окрестность точки a , за пределами которой находится бесконечное число элементов последовательности.

Теорема единственности предела числовой последовательности. Если последовательность имеет предел, то он единственный.

Если последовательность имеет конечный предел, то она ограничена.

Если каждый элемент последовательности равен одному и тому же числу C : , то эта последовательность имеет предел, равный числу C .

Если у последовательности добавить, отбросить или изменить первые m элементов, то это не повлияет на ее сходимость.

Арифметические действия с пределами

Пусть существуют конечные пределы и последовательностей и . И пусть C – постоянная, то есть заданное число. Тогда
;
;
;
, если .
В случае частного предполагается, что для всех n .

Свойства, связанные с неравенствами

Если и элементы последовательности, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству , то и предел a этой последовательности удовлетворяет неравенству .

Если и элементы последовательности, начиная с некоторого номера, принадлежат замкнутому интервалу (сегменту) , то и предел a также принадлежит этому интервалу: .

Если и и элементы последовательностей, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству , то .

Если и, начиная с некоторого номера, , то .
В частности, если, начиная с некоторого номера, , то
если , то ;
если , то .

Пусть и . Если a b , то найдется такое натуральное число N , что для всех n > N выполняется неравенство .

Бесконечно большая и бесконечно малая последовательности

Бесконечно малая последовательность

Сумма и разность конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую является бесконечно малой последовательностью.

Произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

Для того, чтобы последовательность имела предел a , необходимо и достаточно, чтобы , где – бесконечно малая последовательность.

Доказательства свойств бесконечно малых последовательностей приведены на странице
Бесконечно малые последовательности – определение и свойства >>>.

Бесконечно большая последовательность

Бесконечно большая последовательность – это последовательность, имеющая бесконечно большой предел. То есть если для любого положительного числа существует такое натуральное число N , зависящее от , что для всех натуральных выполняется неравенство
.
В этом случае пишут
.
Или при .
Говорят, что стремится к бесконечности.

Читайте также:  Как припаять батарею к планшету

Если , начиная с некоторого номера N , то
.
Если же , то
.

Если последовательность являются бесконечно большой, то, начиная с некоторого номера N , определена последовательность , которая является бесконечно малой. Если являются бесконечно малой последовательностью с отличными от нуля элементами, то последовательность является бесконечно большой.

Если последовательность бесконечно большая, а последовательность ограничена, то
.

Если абсолютные значения элементов последовательности ограничены снизу положительным числом ( ), а – бесконечно малая с неравными нулю элементами, то
.

Более подробно определение бесконечно большой последовательности с примерами приводится на странице
Определение бесконечно большой последовательности >>>.
Доказательства свойств бесконечно больших последовательностей приведены на странице
Свойства бесконечно больших последовательностей >>>.

Критерии сходимости последовательностей

Монотонные последовательности

Аналогичными неравенствами определяются другие монотонные последовательности.

Строго убывающая последовательность:
.
Неубывающая последовательность:
.
Невозрастающая последовательность:
.

Отсюда следует, что строго возрастающая последовательность также является неубывающей. Строго убывающая последовательность также является невозрастающей.

Монотонная последовательность – это неубывающая или невозрастающая последовательность.

Монотонная последовательность ограничена, по крайней мере, с одной стороны значением . Неубывающая последовательность ограничена снизу: . Невозрастающая последовательность ограничена сверху: .

Теорема Вейерштрасса. Для того чтобы неубывающая (невозрастающая) последовательность имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной сверху (снизу ). Здесь M – некоторое число.

Поскольку любая неубывающая (невозрастающая) последовательность ограничена снизу (сверху), то теорему Вейерштрасса можно перефразировать следующим образом:

Для того чтобы монотонная последовательность имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной: .

Монотонная неограниченная последовательность имеет бесконечный предел, равный для неубывающей и для невозрастающей последовательности.

Критерий Коши сходимости последовательности

Условие Коши
Последовательность удовлетворяет условию Коши, если для любого существует такое натуральное число , что для всех натуральных чисел n и m , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство
.

Фундаментальная последовательность – это последовательность, удовлетворяющая условию Коши.

Критерий Коши сходимости последовательности. Для того, чтобы последовательность имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла условию Коши.

Доказательство критерия сходимости Коши приведено на странице
Критерий Коши сходимости последовательности >>>.

Подпоследовательности

Теорема Больцано – Вейерштрасса. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. А из любой неограниченной последовательности – бесконечно большую подпоследовательность, сходящуюся к или к .

Доказательство теоремы Больцано – Вейерштрасса приведено на странице
Теорема Больцано – Вейерштрасса >>>.

Определения, теоремы и свойства подпоследовательностей и частичных пределов рассмотрены на странице
Подпоследовательности и частичные пределы после­довательностей>>>.

Использованная литература:
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
В.А. Зорич. Математический анализ. Часть 1. Москва, 1997.
В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Основы математического анализа. Часть 1. Москва, 2005.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 09-07-2017 Изменено: 30-12-2018

Читайте также:  Стойка калибр для ушм 115 125 мм

Содержание

  • 1Определение
  • 2Примеры
  • 3Операции над последовательностями
  • 4Подпоследовательности
  • 4.1Примеры
  • 4.2Свойства
  • 5Предельная точка последовательности
  • 6Предел последовательности
  • 7Некоторые виды последовательностей
    • 7.1Ограниченные и неограниченные последовательности
      • 7.1.1Критерий ограниченности числовой последовательности
      • 7.1.2Свойства ограниченных последовательностей
      • 7.2Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности
          7.2.1Свойства бесконечно малых последовательностей
      • 7.3Сходящиеся и расходящиеся последовательности
          7.3.1Свойства сходящихся последовательностей
      • 7.4Монотонные последовательности
      • 7.5Фундаментальные последовательности
      • Числовая последовательность — это последовательность элементов числового пространства.

        Числовые последовательности являются одним из основных объектов рассмотрения в математическом анализе.

        Определение

        Пусть множество X — это либо множество вещественных чисел

        Примеры

        • Функция

        Операции над последовательностями

        На множестве всех последовательностей элементов множества X можно определить арифметические и другие операции, если таковые определены на множестве X. Такие операции обычно определяют естественным образом, т. е. поэлементно.

        Пусть на множестве X определена N-арная операция f:

        Произведением числовых последовательностей xn и yn называется числовая последовательность (zn) такая, что

        Частным числовой последовательности xn и числовой последовательности yn, все элементы которой отличным от нуля, называется числовая последовательность

        Конечно, арифметические операции могут быть определены не только на множестве числовых последовательностей, но и на любых множествах последовательностей элементов множеств, на которых определены арифметические операции, будь то поля или даже кольца.

        Подпоследовательности

        Подпоследовательность последовательности (xn) — это последовательность

        Иными словами, подпоследовательность получается из последовательности удалением конечного или счётного числа элементов.

          Последовательность простых чисел является подпоследовательностью последовательности натуральных чисел.
          Последовательность натуральных чисел, кратных 12, является подпоследовательностью последовательности чётных натуральных чисел.

          Всякая последовательность является своей подпоследовательностью.
          Для всякой подпоследовательности

        Предельная точка последовательности

        Основная статья: Предельная точка

        Предельная точка последовательности — это точка, в любой окрестности которой содержится бесконечно много элементов этой последовательности. Для сходящихся числовых последовательностей предельная точка совпадает с пределом.

        Предел последовательности

        Основная статья: Предел последовательности

        Предел последовательности — это объект, к которому члены последовательности приближаются с ростом номера. Так в произвольном топологическом пространстве пределом последовательности называется элемент, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности, начиная с некоторого. В частности для числовых последовательностей предел — это число, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности начиная с некоторого.

        Частичный предел последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей. У сходящихся числовых последовательностей он всегда совпадает с обычным пределом.

        Верхний предел последовательности — это наибольшая предельная точка этой последовательности.

        Нижний предел последовательности — это наименьшая предельная точка этой последовательности.

        Некоторые виды последовательностей

          Стационарная последовательность — это последовательность, все члены которой, начиная с некоторого, равны.

        Ограниченные и неограниченные последовательности

        В предположении о линейной упорядоченности множества X элементов последовательности можно ввести понятия ограниченных и неограниченных последовательностией.

          Ограниченная сверху последовательность — это последовательность элементов множества X, все члены которой не превышают некоторого элемента из этого множества. Этот элемент называется верхней гранью данной последовательности.

        Ссылка на основную публикацию
        Adblock detector